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Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
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# Endpunkte
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# Randstellen.
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Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
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Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
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Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
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Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist
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Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}
Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.
Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Version vom 11:32, 9. Sep. 2009

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass lnx nur definiert ist, wenn x0. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (x=0 erfüllt nicht x0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da x und lnx überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. f(x)=1x, also ist

fe−1=1e−1=e0 

Also ist x=e−1 ein lokales Minimum.

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