Lösung 1.3:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Lokale | + | Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder: |
| - | # stationäre | + | # stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # singuläre | + | # singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder |
| - | # | + | # Randstellen. |
| - | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären | + | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>. | Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>. | ||
| - | Die Funktion hat also drei stationäre | + | Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>, |
<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>. | <math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>. | ||
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| - | Die Funktion hat also ein lokales Maximum | + | Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>. |
Version vom 11:34, 9. Sep. 2009
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
- stationäre Stellen mit
f ,
(x)=0 - singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
- Randstellen.
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner
(x)= 1+x4 21+x2 1+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4 |
Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
| 1−2x2−x4=0. |
Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren
Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
Die Lösungen sind 
2 2=x2
Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, 
2−1 2−1
Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
| (x)=1+x422x1−2x2−x4 |
und durch quadratische Ergänzung von
2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12 |
Die Ableitung ist also
| (x)=1+x422x2−x2+12 |
Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
| | 2−1 | | 2−1 | ||||
| | | | | | | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle (x^4 + 1)^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
| \displaystyle x | \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1} | ||||
| \displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow | \displaystyle 1 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow |
Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=0.
