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Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.
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Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
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Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.
<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.
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Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum im Punkt <math>x=0</math>.
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Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>.

Version vom 11:34, 9. Sep. 2009

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0. 

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

1−2x2−x4=0.

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

1−2t−t2=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

t2+2t−1(t+1)2−12−1(t+1)2=0=0=2

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


x −2−1  0 2−1 
2x − − − 0 + + +
2−(x2+1)2 − 0 + + + 0 −
(x4+1)2 + + + + + + +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.


x −2−1  0 2−1 
f(x) + 0 − 0 + 0 −
f(x) 21(2+1)  1 21(2+1) 

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle x=2−1  ind ein lokales Minimum an der Stelle x=0.

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