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1.2 Ableitungsregeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(→A - Die Produkt- und Quotientenregel - Bem. Faktorregel = Produktregel)
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Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, verk&uuml;rzt sich die Kettenregel zu
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Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, verkürzt sich die Kettenregel zu
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx}
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''' Beispiel 2'''
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<math>y(x)=(x^2 + 2x)^4</math> ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verk&uuml;rzte Kettenregel:
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<math>y(x)=(x^2 + 2x)^4</math> ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel:
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Version vom 10:32, 16. Sep. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches von Funktionen
  • Die Ableitung verketteter Funktionen
  • Höhere Ableitungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.

A - Die Produkt- und Quotientenregel

Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:

Produkt- und Quotientenregel:

f(x)g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x)

Dieselbe Regel in einer anderen Notation:

ddxf(x)g(x)ddxf(x)g(x)=ddxf(x)g(x)+f(x)ddxg(x)=g(x)2ddxf(x)g(x)−f(x)ddxg(x)

Die Produktregel wird manchmal auch Faktorregel genannt.

Beispiel 1

  1. ddx(x2ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.

  2. (xsinx)=(x)sinx+x(sinx)=1sinx+xcosx=sinx+xcosx.

  3. ddx(xlnx−x)=1lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnx.

  4. (tanx)=sinxcosx=(cosx)2cosxcosx−sinx(−sinx)=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x .

  5. ddxx1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x=x2xx−1=x−12xx.

  6. ddxxex1+x=(1+x)2(1ex+xex)(1+x)−xex1=(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex.

B - Ableitung von verketteten Funktionen

Die Funktion y(x)=f(g(x)) besteht aus einer inneren Funktion g und einer äußeren Funktion f. Um y(x) an einer Stelle x=x0 zu berechnen, berechnet man zuerst g(x0) und berechnet dann f(u0) mit u0=g(x0). Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt y=fg und spricht "f kringel g" oder "f nach g".

Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

y(x)=fg(x)g(x). 

Genau wie man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht, sagt man auch, dass die Ableitung y das Produkt der äußere Ableitung f und der inneren Ableitung g ist.

In einer anderen Notation lautet die Kettenregel:

ddxy(x)=dduf(u)u=g(x)ddxg(x).


Nennen wir y=f(u) und u=g(x), verkürzt sich die Kettenregel zu

dxdy=dudydxdu.


Beispiel 2

y(x)=(x2+2x)4 ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel:

y=u4 die äußere Funktion und u=x2+2x die innere Funktion.
dudy=4u3 die äußere Ableitung und dxdu=2x+2 die innere Ableitung.

Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben

dxdy=dudydxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2).

Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach

(Äußere Ableitung)(Innere Ableitung).

Vergiss nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.

Beispiel 3

  1. y(x)=sin(3x2+1)

    Äußere Funktion:Innere Funktion:f(u)=sinug(x)=3x2+1Äußere Ableitung:Innere Ableitung:f(u)=cos(u)g(x)=6x

    y(x)y(x)=f(g(x))=f(g(x))g(x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)

  2. y=5ex2

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:5ex22x

    y=5ex22x=10xex2

  3. f(x)=exsinx

    Äußere Ableitung:Innere Ableitung:exsinx1sinx+xcosx

    f(x)=exsinx(sinx+xcosx)

  4. s(t)=t2cos(lnt)

    s(t)=2tcos(lnt)+t2−sin(lnt)t1=2tcos(lnt)−tsin(lnt) 

  5. ddxax=ddxelnax=ddxexlna=exlnalna=axlna 

  6. ddxxa=ddxelnxa=ddxealnx=ealnxax1=xaax−1=axa−1 

Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion y(x)=fg(h(x))  die Ableitung


y(x)=fg(h(x))g(h(x))h(x). 


Beispiel 4

  1. ddxsin32x=ddx(sin2x)3=3(sin2x)2ddxsin2x=3(sin2x)2cos2xddx(2x)
    =3sin22xcos2x2=6sin22xcos2x

  2. sin(x2−3x)4=cos(x2−3x)4(x2−3x)4 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(x2−3x) 
    =cos(x2−3x)44(x2−3x)3(2x−3) 

  3. ddxsin4(x2−3x)=ddxsin(x2−3x)4 
    =4sin3(x2−3x)ddxsin(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)ddx(x2−3x)
    =4sin3(x2−3x)cos(x2−3x)(2x−3)

  4. ddxex3−1=ex3−1ddxx3−1=ex3−112x3−1ddx(x3−1) 
    =ex3−112x3−13x2=2x3−13x2ex3−1

C - Höhere Ableitungen

Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

Die zweite Ableitung schreibt man meistens f, während man die dritte Ableitung als f(3) schreibt, die vierte als f(4) etc.

Mann kann auch D2f, D3f oder dx2d2y, dx3d3y, ... schreiben.

Beispiel 5

  1. f(x)=3ex2−1
    f(x)=3ex2−1ddx(x2−1)=3ex2−12x=6xex2−1
    f(x)=6ex2−1+6xex2−12x=6ex2−1(1+2x2)
  2. y=sinxcosx
    dxdy=cosxcosx+sinx(−sinx)=cos2x−sin2x
    dx2d2y=2cosx(−sinx)−2sinxcosx=−4sinxcosx
  3. ddx(exsinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)
    d2dx2(exsinx)=ddxex(sinx+cosx)  =ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx
    d3dx3(exsinx)=ddx(2excosx) =2excosx+2ex(−sinx)=2ex(cosx−sinx)



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