Processing Math: 44%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (07:06, 11. Mai 2011) (bearbeiten) (rückgängig)
 
Zeile 5: Zeile 5:
# Randstellen.
# Randstellen.
-
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
+
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0. 

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

1−2x2−x4=0.

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

1−2t−t2=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

t2+2t−1(t+1)2−12−1(t+1)2=0=0=2

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


x −2−1  0 2−1 
2x − − − 0 + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow \displaystyle 1 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=0.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:3d“