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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r^4 &= 4\,,\\[5pt]		r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}	+	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}
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	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

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Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

r44=4=+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl)

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Für n=01, 2 und 3 nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i.

Die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.