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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wenn wir die Gleichung für w=z−iz+i lösen, erhalten wir die Gleichung

w2=−1.

wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,

w=−ii

also muss z die Gleichung

z−iz+i=−i or z−iz+i=i.

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.

• (z+i)(z−i)=−i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=−i(z−i).

und ziehen Alle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

z+iz=−1−i.

Dies ergibt

z=1+i−1−i=1+i−(1+i)=−1.

• (z+i)(z−i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=i(z−i).

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.