Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

und daher muss

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder \displaystyle c=1. Da \displaystyle d=-3c, ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt] b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt] b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.} \end{align}

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• \displaystyle a=-8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=-3,

• \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=-1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=3.

Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad (z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\ &= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\ &= z^4 -6z^2 +8z-3 \\[10pt] c=-1,\ d=3: \quad (z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\ &= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\ &= z^4 -6z^2 -8z-3 \,\textrm{.} \end{align}