Lösung 1.1:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt 
y0)
| (1) |
Schreiben wir die Tangente als 
=−2x
| (2) |
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt y0)
 x0+m. | (3) |
Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
| 1+m. | (4) |
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten
Da wir
Aus der Gleichung (2) folgt, dass
| \displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir k, und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur \displaystyle x_0 und -Terme,
| \displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} | (3') |
Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0,
| \displaystyle \left\{\begin{align}
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0,
| \displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,, |
also
| \displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.} |
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
| \displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.} |
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,
| \displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.} |
Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.
