Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0.

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.

x		−2−1		0		2−1
2x	−	−	−	0	+	+	+
2−(x2+1)2	−	0	+	+	+	0	−
(x4+1)2	+	+	+	+	+	+	+

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

x		−2−1		0		2−1
f(x)	+	0	−	0	+	0	−
f(x)		21(2+1)		1		21(2+1)

Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt x=2−1  ind ein lokales Minimum im Punkt x=0.