Lösung 3.4:6
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie
 |
also
Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
und also,
 a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0. |
Die zweite Gleichung gibt 
6 6
Daher hat die Gleichung 6 6
Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln i6
| 6)(z+i6)=z2+6 |
und daher ist
|
Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von \displaystyle z^{2}+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor \displaystyle z^2+Az+B durch Polynomdivision,
| \displaystyle \begin{align}
z^2+Az+B &= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt] &= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.} \end{align} |
Also müssen wir die Gleichung
| \displaystyle z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.} |
lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,, \end{align} |
Dies ergibt also \displaystyle z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}.
Die Gleichung hat also die Wurzeln
| \displaystyle z=-i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=i\sqrt{6}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}, \displaystyle \quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.} |
