Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wo a eine reelle Konstante ist Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir
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| (ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0
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also
Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
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| (a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0.
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und also,
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|  a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0. |
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Die zweite Gleichung gibt a=0 oder a=
6 , aber nur a=6 erfüllt auch die erste Gleichung.
Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln z=−i6 und z=i6 . Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6 , enthält das Polynom den Faktor
und daher ist
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| z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)
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Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von z2+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision,
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| z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5. |
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Also müssen wir die Gleichung
lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,
Dies ergibt also z=−23229 .
Die Gleichung hat also die Wurzeln
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| z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229.
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z+23
2−