Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, und daher ist

für welche konstanten A und B. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

Daher ist unsere Gleichung

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass z−1 nur null ist wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

durch quadratische Ergänzung lösen,

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Wir kontrollieren schnell ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind,

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}