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Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, und daher ist

z3−3z2+4z−2=(z2+Az+B)(z−1)

für welche konstanten A und B. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

z2+Az+B=z−1z3−3z2+4z−2=z−1z3−z2+z2−3z2+4z−2=z−1z2(z−1)−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+2z−2z+4z−2=z2+z−1−2z(z−1)+2z−2=z2−2z+z−12z−2=z2−2z+z−12(z−1)=z2−2z+2.

Daher ist unsere Gleichung

(z−1)(z2−2z+2)=0.

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass z−1 nur null ist wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

z2−2z+2=0.

durch quadratische Ergänzung lösen,

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und z=1+i.

Die anderen Wurzeln sind also z=1−i und z=1+i.


Wir kontrollieren schnell ob z=1i Wurzeln der Gleichung sind,

z=1+i:z3−3z2+4z−2z=1−i:z3−3z2+4z−2=(z−3)z+4z−2=(1+i−3)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i−2i−1+4)(1+i)−2=(1−i)(1+i)−2=12−i2−2=1+1−2=0=(z−3)z+4z−2=(1−i−3)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i+2i−1+4)(1−i)−2=(1+i)(1−i)−2=12−i2−2=1+1−2=0.

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