Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also

y0=−x20.

(1)

Schreiben wir die Tangente wie y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung, y=−2x, im Punkt x=x0,

k=−2x0.

(2)

Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m.

(3)

Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m.

(4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Nachdem wir x0 und y0 ersuchen, eliminieren wir zuerst k und m,

Die Gleichung (2) Gibt dass k=−2x0 und dies in der Gleichung (4) gibt,

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k, und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur x0undy0-Terme,

y0=−2x20+2x0+1.

(3')

Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0,

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1.

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0,

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2andx0=1+2.

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,

y0=−3+22andy0=−3−22.

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .