Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo f(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass lnx nur definiert ist wenn x0. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (x=0 erfüllt nicht x0), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem x und lnx überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.

Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. f(x)=1x, und also ist

fe−1=1e−1=e0

Also ist x=e−1 ein lokales Minima.