Processing Math: 45%

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo f(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle

1. Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.

   f(x)=(x2−x−1)ex+(x2−x−1)ex=(2x−1)ex+(x2−x−1)ex=(x2+x−2)ex.

   Die Ableitung ist null wenn x2+x−2=0 null ist, nachdem ex immer größer aös null ist für alle x.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

   x+212−212−2x+212x+21=0=49=23

   Also x=−21−23=−2 und x=−21+23=1. Beide dieser Punkte liegen im Intervall −3x3.
2. Die Funktion besteht aus einen Polynom x2−x−1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion ex. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
3. Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten x=−3, x=−2, x=1 und x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

f(x)=(x2+x−2)ex=(x+2)(x−1)ex

nachdem x2+x−2 die Wurzeln x=−2 und x=1.

x	−3		−2		1		3
x+2	−	−	0	+	+	+	+
\displaystyle x-1	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle e^x	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)		\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle 11e^{-3}	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^{-2}	\displaystyle \searrow	\displaystyle -e	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^3

Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1, und ein lokales Maxima in den Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.