Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.

Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

Die Fläche ist

A()=1010cos+22110cos10sin=100cos(1+sin).

Begrenzen wir den Winkel sodass er zwischen 0 und 2 liegt, erhalten wir das Problem:

Maximiere A()=100cos(1+sin) wenn

02.

Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn =0 oder wenn =2, Und also nimmt die Funktion ihr Maxima für einen stationären Punkt an.

Die Ableitung ist

A()=100(−sin)(1+sin)+100coscos=−100sin−100sin2+100cos2.

Für stationäre Punkte ist A()=0 und dies ergibt die Gleichung

sin+sin2−cos2=0

Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben. Wir ersetzen cos2 mit 1−sin2 und erhalten eine Gleichung mit nur sin-Termen,

sin+sin2−(1−sin2)2sin2+sin−1=0=0.

Dies ist eine quadratische Gleichung für sin, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir

2sin+412−2412−1sin+412=0=916

und wir erhalten weiter sin=−4143, also sin=−1 oder sin=21.

Der Fall dass sin=−1 ist nie erfüllt für 02 und sin=21 gibt =6. Also ist =6 ein stationärer Punkt.

Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten =0 und =2 hat, und den kritischen Punkt =6. Daher muss der kritische Punkt ein Maxima sein, aber wir zeigen dies auch mit der zweiten Ableitung,

A()=−100cos−1002sincos+1002cos(−sin)=−100cos(1+4sin)

Dieser Ausdruck ist negativ für =6,

A(6)=−100cos61+4sin6=−100231+4210.

Also ist =6 ein globales Maxima, nachdem es das einzige lokale Maxima ist.