2.3 Partielle Integration
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Inhalt:
- Partielle Integration.
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Die Herleitung der partiellen Integration verstehen.
- Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, lösen.
Partielle Integration
Partielle Integration kann hilfreich sein um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen
 v+uv. |
Integrieren wir jetzt beide Seiten erhalten wir
 (uv+uv)dx=uvdx+uvdx |
und so erhalten wir die Regel für Partielle Integration.
Partielle Integration:
| uvdx=uv−uvdx. |
Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, hofft man dass das Integral uvdx uvdx
Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie dass es zu ein einfacheres Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion
Beispiel 1
Bestimmen Sie das Integral xsinxdx
Wählen wir =x=cosx
2
| xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx. |
Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Intagral.
Wählen wir aber =sinx=1
xsinxdx=−xcosx−−1 cosxdx=−xcosx+sinx+C. |
Beispiel 2
Bestimmen Sie das Integral x2lnxdx
Wir wählen =x2=1x3
| x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C. |
Beispiel 3
Bestimmen Sie das Integral x2exdx
Wir wählen
| \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.} |
Wir müssen uns hier noch einal von partieller Integration verwenden, um das Intagral \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx zu berechnen. Hier wählen wir\displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^x,und also ist \displaystyle u'=2 und \displaystyle v=e^x:
| \displaystyle \int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.} |
Das ursprüngliche Integral ist
| \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.} |
Beispiel 4
Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.
Wir integrieren den Faktor \displaystyle e^x und leiten den Faktor \displaystyle \cos x ab,
| \displaystyle \begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*} |
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration indem wir den Faktor \displaystyle e^x integrieren und den Faktor \displaystyle \sin x ableiten.
| \displaystyle \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.} |
Hier erscheine wieder unser ursprüngliches Integral.
Wir haben also
| \displaystyle \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx |
Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir
| \displaystyle \int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.} |
Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung die wir für unseres Integral lösen konnten. Dies ist oft vorkommend wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
Beispiel 5
Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.
Das Integral kann wie
| \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.} |
geschrieben werden. Wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^{-x}, erhalten wir durch partielle Integration
| \displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 6
Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.
Zuerst machen wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}, wodurch wir \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u erhalten. Also ist \displaystyle dx = 2u\,du\,, und wir erhalten das Integral
| \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.} |
Danach verwenden wir uns von partieller Integration. Wir leiten den Faktor \displaystyle \ln u ab, und integrieren den Faktor \displaystyle 2u
| \displaystyle \begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*} |
Hinweis: Alternativ kann man den Integrand wie \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x schreiben, und die Produkte \displaystyle \tfrac{1}{2}\,\ln x mit partieller Integration integrieren.
