Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4.

Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,

r44=4=+2n(n is an arbitrary integer),

und erhalten

r=44=2=4+2n(n is an arbitrary integer).

Für n=01, 2 und 3, nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45and47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i,

und die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.