Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Nachdem \displaystyle z=1-2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir \displaystyle z=1-2i substituieren,

\displaystyle (1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}

Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir \displaystyle a und \displaystyle b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,

\displaystyle -11+2i+a(1-2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil,

\displaystyle (-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}

und erhalten,

\displaystyle \left\{\begin{align} -11+a+b &= 0\,,\\[5pt] 2-2a &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle a=1 und \displaystyle b=10.

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^3+z+10=0

und hat die eine Wurzel \displaystyle z=1-2i.

Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch \displaystyle z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

\displaystyle \bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5

enthalten, und also ist

\displaystyle z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)

wo \displaystyle z-A der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align} z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.