2.3 Partielle Integration

Beispiel 1

Bestimmen Sie das Integral xsinxdx .

Wenn wir u=sinx und v=x wählen, erhalten wir u=cosx und v=x22, und wir erhalten durch die Formel für partielle Integration

xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx.

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.

Wenn wir aber u=x und v=sinx wählen, wird u=1 und v=−cosx,

xsinxdx=−xcosx−−1cosxdx=−xcosx+sinx+C.

Beispiel 2

Bestimmen Sie das Integral  x2lnxdx .

Wir wählen u=lnx und v=x2, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen. Nachdem u=1x und v=x33 erhalten wir

x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C.

Beispiel 3

Bestimmen Sie das Integral  x2exdx .

Wir wählen u=x2 und v=ex, und daher ist u=2x und v=ex. Durch partielle Integration erhalten wir

x2exdx=x2ex−2xexdx.

Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral 2xexdx  zu berechnen. Hier wählen wir u=2x und v=ex, und daher ist u=2 und v=ex:

2xexdx=2xex−2exdx=2xex−2ex+C.

Das ursprüngliche Integral ist

x2exdx=x2ex−2xex+2ex+C.

Beispiel 4

Bestimmen Sie das Integral  excosxdx .

Wir integrieren den Faktor ex und leiten den Faktor cosx ab,

excosxdx=excosx−ex(−sinx)dx=excosx+exsinxdx.

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor ex integrieren und den Faktor sinx ableiten.

exsinxdx=exsinx−excosxdx.

Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

excosxdx=excosx+exsinx−excosxdx

Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir

excosxdx=21ex(cosx+sinx)+C.

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, die wir für unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimmen Sie das Integral  01ex2xdx .

Das Integral kann als

01ex2xdx=012xe−xdx.

geschrieben werden. Wählen wir u=2x und v=e−x, erhalten wir durch partielle Integration

012xe−xdx=−2xe−x10+012e−xdx=−2xe−x10+−2e−x10=(−2e−1)−0+(−2e−1)−(−2)=−e2−e2+2=2−e4.

Beispiel 6

Bestimmen Sie das Integral  lnx dx .

Zuerst machen wir die Substitution u=x , wodurch wir du=dx2x=dx2u  erhalten. Also ist dx=2udu, und wir erhalten das Integral

lnxdx=lnu2udu.

Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor lnu ab, und integrieren den Faktor 2u

lnu2udu=u2lnu−u2u1du=u2lnu−udu=u2lnu−2u2+C=xlnx−x2+C=xlnx−21+C.

Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als lnx=21lnx  zu schreiben, und die Produkte 21lnx mit partieller Integration zu integrieren.