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Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2)R sein, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2)Rr=22R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und dem ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

Also haben wir

h=R222R2=R2222R2=R1222.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122R2R1222=31R32221222.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R32221222 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel nur in (2)2-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel x=(2)2 maximieren, um das Problem zu vereinfachen,

Maximiere V(x)=31R3x21x2 , wenn 0x1.

Wenn x=0 oder x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1x2+31R3x2121x2(2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1x231R3x311x2=31R3x1x22(1x2)x2=31R3x1x2(23x2).

Die Ableitung ist null wenn x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn 23x2=0, also wenn x=23 . (Der Punkt x=23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

x 0 32  1
x 0 + + + +
1x2  + + + + 0
23x2 + + 0


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst


x 0 32  1
V(x) 0 + 0  
V(x) 0 493R3  0

Wir sehen hier dass x=23  ein globales Maxima ist. x=23  entspricht den Winkel :

32=22=2123 radians.