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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2−)R sein, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und dem ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel x=(2−)2 maximieren, um das Problem zu vereinfachen,

Maximiere V(x)=31R3x21−x2 , wenn 0x1.

Wenn x=0 oder x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.

Wir leiten die Funktion ab,

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2).

Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Der Punkt \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)

Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,

\displaystyle x	\displaystyle 0		\displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}}		\displaystyle 1
\displaystyle x	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle \sqrt{1-x^2}	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0
\displaystyle 2-3x^2	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle -

und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst

\displaystyle x	\displaystyle 0		\displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}}		\displaystyle 1
\displaystyle V'(x)	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle V(x)	\displaystyle 0	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3	\displaystyle \searrow	\displaystyle 0

Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maxima ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.}