Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte

Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass lnx nur definiert ist, wenn x0. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (x=0 erfüllt nicht x0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da x und lnx überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. f(x)=1x, also ist

fe−1=1e−1=e0

Also ist x=e−1 ein lokales Minimum.