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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0.

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

1−2x2−x4=0.

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

1−2t−t2=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

t2+2t−1(t+1)2−12−1(t+1)2=0=0=2

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.

x		−2−1		0		2−1
2x	−	−	−	0	+	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x		\displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1}		\displaystyle 0		\displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)}	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1)	\displaystyle \searrow	\displaystyle 1	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1)	\displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum im Punkt \displaystyle x=0.