Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:

z−1=r(cos+isin)=1(cos+isin)

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

r3(cos3+isin3)=1(cos+isin).

Die beiden Seiten sind gleich wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von 2 unterscheiden,

r33=1=+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl),

Dadurch erhalten wir

r=1=3+32n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Für jede dritte ganze Zahl n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen (eine für n=0, für n=1 und für n=2),

z=1cos3+isin31cos+isin1cos35+isin35=21+i3−121−i3.

Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.