Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Ein Polynom hat die dreifache Wurzel z=c wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d)

wo z=c die dreifache Wurzel ist, und z=d die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d sodass die obere Gleichung stimmt.

Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d.

Nachdem zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c−3d)c3d=0=−6=a=b.

Von der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c,

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Nachdem d=−3c ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b,

c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1−3(−3))=8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=10=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=1 und eine einfache Wurzel in z=−3,

• a=10 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=−1 und eine einfache Wurzel in z=3,