Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wobei a eine reelle Konstante ist, substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir

(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0

also

a4−3a3i−a2+18ai−30=0

Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0.

also,

a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0.

Die zweite Gleichung gibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.

Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln z=−i6  und z=i6 . Dies war zu erwartet, da das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6 , enthält das Polynom den Faktor

(z−i6)(z+i6)=z2+6

und daher ist

z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)

wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von z2+Az+B sind.

Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision,

z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5.

Also müssen wir die Gleichung

z2+3z−5=0.

lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,

z+232−232−5z+232=0=429

Dies ergibt also z=−23229 .

Die Gleichung hat also die Lösungen

z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229.