Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution u=u(x) durchführen, müssen wir folgendes bedenken:

1. Das Integral muss mit der neuen Variable u umgeschrieben werden.
2. dx muss mit du ersetzt werden, indem du=u(x)dx.
3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution u=3x−1, da 1(3x−1)4 mit 1u4 ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(3x−1)dx=3dx

also ersetzen wir dx mit 31du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze x=1, u=31−1=2. Die obere Integrationsgrenze x=2 entspricht u=32−1=5.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du

oder weniger detailliert

21dx(3x−1)4=u=3x−1=52u431du.

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du=3152u−4du=31 u−4+1−4+1 52=−91 1u3 52=−91153−123=−91235323−53=117322353=3213322353=132353=131000.