Lösung 2.3:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die Formel für partielle Integration lautet

f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−F(x)g(x)dx

wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist und g(x) die Ableitung von g(x) ist.

Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren f(x) und g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt F(x)g(x) einfacher zu integrieren ist als f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

Im Integral

2xe−xdx

ist es sinnvoll f(x)=e−x und g(x)=2x zu wählen, da dann g(x)=2 und F(x)=−e−x, deren Produkte wir einfach integrieren können.

2xe−xdx=2x−e−x−2−e−xdx=−2xe−x+2e−xdx.

Schließlich müssen wir nur noch das Integral e−x berechnen.

=−2xe−x+2−e−x+C=−2xe−x−2e−x+C=−2(x+1)e−x+C