Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wechseln zu: Navigation, Suche

Lösen wir die Gleichung für w=z−1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

w4=−4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

w−4=r(cos+isin)=4(cos+isin)

und wir erhalten die Gleichung

r4(cos4+isin4)=4(cos+isin).

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

r44=4=+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl) 

und erhalten

r=44=2=4+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Für n=01, 2 und 3 nimmt das Argument verschiedene Werte an

4, 43, 45und47

Während wir für andere n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

w=2cos4+isin42cos43+isin432cos45+isin452cos47+isin47=1+i−1+i−1−i1−i.

Die Lösungen für z sind

z=2+ii−i2−i.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:2d“