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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch 4+i, sodass der Koeffizient von z2 dann 1 ist.

z2+4+i1−21iz=174+i

Die beiden komplexen Brüche sind

4+i1−21i174+i=(4+i)(4−i)(1−21i)(4−i)=42−i24−i−84i+21i2=16+1−17−85i=17−17−85i=−1−5i=17(4−i)(4+i)(4−i)=42−i217(4−i)=1717(4−i)=4−i.

Die Gleichung ist daher

z2−(1+5i)z=4−i.

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

z−21+5i2−21+5i2z−21+5i2−41+25i+425i2z−21+5i2−41−25i+425z−21+5i2=4−i=4−i=4−i=−2+23i.

Lassen wir w=z−21+5i sein, erhalten wir die Gleichung

w2=−2+23i ,

die wir lösen, indem wir annehmen, dass w=x+iy

(x+iy)2=−2+23i

oder, falls wir die linke Seite erweitern,

x2−y2+2xyi=−2+23i.

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir

x2−y22xy=−2=23

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung

x2+y2=(−2)2+232=25.

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen

x2−y22xyx2+y2=−2=23=25.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht x und y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten

	x2	−	y2	=	−2
+	x2	+	y2	=	25
	2x2			=	21

und wir erhalten x=21.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten

	x2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \	\displaystyle \bigl(x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2\rlap{\bigr)}
			\displaystyle 2y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{9}{2} ,

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.,

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right..

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}