Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.

z−1=r(cos+isin)=1(cos+isin)

Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

r3(cos3+isin3)=1(cos+isin).

Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von 2 unterscheiden

r33=1=+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Dadurch erhalten wir

r=1=3+32n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Für jede dritte ganze Zahl n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für n=0, für n=1 und für n=2).

z=1cos3+isin31cos+isin1cos35+isin35=21+i3−121−i3.

Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.