4.4 Trigonometriska ekvationer

Förberedande kurs i matematik 1

Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar          Ja/Nej?      

Innehåll:

  • Trigonometriska grundekvationer
  • Enklare trigonometriska ekvationer

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Lösa trigonometriska grundekvationer.
  • Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.

Grundekvationer

Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a och \displaystyle \tan x = a.

Dessa ekvationer har i regel oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t.ex. att man söker en spetsig vinkel).

Exempel 1

Lös ekvationen \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.


Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir \displaystyle \tfrac{1}{2}. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas \displaystyle x.

[Image]

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med y-koordinat \displaystyle \tfrac{1}{2} i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet \displaystyle \tfrac{1}{2}. Den första är standardvinkeln \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln \displaystyle 30^\circ mot den negativa x-axeln, vilket gör att den vinkeln är \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ eller i radianer \displaystyle \pi – \pi / 6 = 5\pi / 6. Detta är de enda lösningar till ekvationen \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} mellan \displaystyle 0 och \displaystyle 2\pi.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde \displaystyle \tfrac{1}{2} är alltså

\displaystyle \begin{cases}

x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases}

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till \displaystyle y = \sin x skär linjen \displaystyle y=\tfrac{1}{2}.

[Image]

Exempel 2

Lös ekvationen \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.


Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.

[Image]

Vi vet att cosinus blir \displaystyle \tfrac{1}{2} för vinkeln \displaystyle \pi/3. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln \displaystyle -\pi/3. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

\displaystyle x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.


En lösning till ekvationen är standardvinkeln \displaystyle x=\pi/3.

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln \displaystyle x med den positiva x-axeln.

[Image]

Därför ser vi att lösningarna till \displaystyle \tan x = \sqrt{3} upprepar sig varje halvt varv \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen \displaystyle \pi/3 och lägga till eller dra ifrån multiplar av \displaystyle \pi,

\displaystyle x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal.


Några mer komplicerade ekvationer

Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.

Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t.ex. leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1.

Exempel 4

Lös ekvationen \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.


Omskrivning med hjälp av formeln \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 ger

\displaystyle (2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}

vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)

\displaystyle \cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}

Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till

\displaystyle (\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om \displaystyle \cos x = 1. Grundekvationen \displaystyle \cos x=1 kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

\displaystyle

x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}

Exempel 5

Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.


Enligt den trigonometriska ettan är \displaystyle \sin^2\!x + \cos^2\!x = 1, dvs. \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x. Ekvationen kan alltså skrivas

\displaystyle \tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}

Genom att nu bryta ut en faktor \displaystyle \sin x får vi

\displaystyle

\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla \displaystyle \sin x = 0 eller \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2}, vilka är två vanliga grundekvationer på formen \displaystyle \sin x = a och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut

\displaystyle

\begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases} \qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}

Exempel 6

Lös ekvationen \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.


Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen

\displaystyle 2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}

Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor \displaystyle \cos x, vilket ger

\displaystyle \cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}

Eftersom produkten i vänsterledet bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

  • \displaystyle \cos x = 0,
  • \displaystyle \sin x = 2.

Men \displaystyle \sin x kan aldrig bli större än 1, så ekvationen \displaystyle \sin x = 2 saknar lösningar. Då återstår bara \displaystyle \cos x = 0, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Exempel 7

Lös ekvationen \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.


Med den trigonometriska ettan kan \displaystyle \sin^2\!x bytas ut mot \displaystyle 1 – \cos^2\!x. Då får vi

\displaystyle

\begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Detta är en andragradsekvation i \displaystyle \cos x, som har lösningarna

\displaystyle

\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{och}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Eftersom värdet av \displaystyle \cos x ligger mellan \displaystyle –1 och \displaystyle 1 kan ekvationen \displaystyle \cos x=-\tfrac{3}{2} inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen

\displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}

som löses enligt exempel 2.


Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.

Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a eller \displaystyle \tan x = a (där \displaystyle a är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer typiskt har oändligt många lösningar.


Länktips

Experimentera med grafen y=a sin b(x-c)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/4.4_Trigonometriska_ekvationer