5.2 Matematisk text

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 9: Rad 9:
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
-
* Formatering av en matematiska text
+
* Regler kring formatering av matematiska text
* Goda råd inför skrivandet av en lösning
* Goda råd inför skrivandet av en lösning
* Vanliga fel
* Vanliga fel
Rad 19: Rad 19:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
* Presentera en matematisk text
* Presentera en matematisk text
-
* Förklara matematik
+
* Förklara tankegången bakom en lösning
}}
}}
-
==Utformningen==
+
==Goda råd==
===Förklara din lösning===
===Förklara din lösning===
Rad 31: Rad 31:
Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.
Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.
-
===Skriv god Svenska===
+
===Skriv god svenska===
-
Även om detta är inte en inlämningsuppgift i Svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel ser det illa ut och påverka lösningens trovärdighet. Yta är viktigt!
+
Även om detta inte är en inlämningsuppgift i svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel ser det illa ut och påverka lösningens trovärdighet. Yta är viktigt!
-
===Behandla formler som en del av texten===
+
===Renskriv lösningen===
-
Formler bör inte ses som något som hängs på texten (eller tvärt om) utan både text och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde.
+
Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar lösningen och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och inte binda upp dig för tidigt vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.
-
'''Skriv förklarande text på raden ovanför formlen'''
+
När du skriver in lösningen gör det som text och inte som skärmdumpar från din ordbehandlare. Visserligen kan det vara enklare att skriva lösningen på din egen dator i favoritprogrammet, men tänk på att lösningen i nästa fas ska ingå i ett grupparbete och då är det viktigt att lösningen är i redigerbart skick.
-
Att skriva formlen och texten på samma rad försämrar läsbarheten.
+
===Ett tydligt svar===
 +
Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
Skriv inte
+
''' Exempel 1'''
-
formel (text text text text text text ...)
+
<ol type="a">
 +
<li><math>\sqrt8</math> förenklas till <math>2\sqrt2</math>. </li>
 +
<li><math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math> förenklas till <math>1 + 2\sin 2x</math>. </li>
 +
<li><math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.</math> förenklas till <math>x = \pi / 4 + n\pi / 2</math>. </li>
 +
</ol>
-
formel (text text text text text text ...)
 
</div>
</div>
-
Formler kan antingen skrivas inne i den löpande texten eller som fristående formler.
+
===Pröva och kontrollera delsteg och svar===
 +
Ibland när man löser vissa ekvationer dyker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter.
 +
 
 +
<div class="regel">
 +
'''Falska rötter'''
 +
 +
<ul>
 +
<li>Kvadrering kan ge falska rötter </li>
 +
<li>Multiplikation av ekvationer med faktorer som innehåller ''x'' kan ge falska rötter </li>
 +
<li>Rötter som ligger utanför funktioners definitionsmängd är falska </li>
 +
</ul>
 +
</div>
 +
 
 +
En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.ex. genom att en faktor i båda led förkortas bort utan att tänka på att den faktorn lika med noll ger ytterligare lösningar.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
... text text text formel text.
+
'''Exempel 2'''
-
Text text text
+
Om du löser ekvationen <math>2x^2-5x=0</math> genom att först flytta <math>5x</math> till högerledet,
 +
{{Fristående formel||<math>2x^2=5x,</math>}}
 +
och förkorta bort <math>x</math> i båda led,
 +
{{Fristående formel||<math>2x=5,</math>}}
 +
så förlorar du lösningen <math>x=0</math>.
-
formel
+
Om du istället faktoriserar vänsterledet,
 +
{{Fristående formel||<math>x(2x-5)=0,</math>}}
 +
så kan du avläsa båda lösningarna: <math>x=0</math> och <math>2x-5=0</math> (dvs. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
-
text text text text text text ...
+
Läs mer om faktorisering i övning 2.1:3.
</div>
</div>
-
'''Skriv fristående formler med indragning (eller centrerade)'''
+
En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.
-
När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna.
+
En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> eller <math>a</math> går mot oändligheten?)
-
Notera hur indragningen framhäver både den förklarande texten och formeln.
+
===Rita tydliga figurer===
 +
En figur kan förklara införda beteckningar eller resonemang många gånger mycket bättre än text, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tydliga och överlasta inte en figur med alltför många saker. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt.
 +
 
 +
 
 +
==Behandla formler som en del av texten==
 +
 
 +
Det är viktigt att du skriver din lösning på ett sätt som gör det enkelt för andra att följa med i uträkningarna. Nedan presenterar vi några exempel på hur man ska och inte ska framställa texten när man använder formler i sin lösning.
 +
 
 +
<div class="regel">
 +
'''Goda råd kring formler och text'''
 +
<ol>
 +
<li>Skriv förklarande text på raden innan en formel</li>
 +
<li>Tänk på hur du skriver ut punkt och komma</li>
 +
<li>Skriv fristående formler något indragna (eller centrerade)</li>
 +
</ol>
 +
</div>
 +
 
 +
Formler bör inte ses som något som hängs på texten (eller tvärt om) utan både text och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde. Skriv därför inte förklarande text inom parenteser efter formler utan istället på raden innan.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
... text text text text text text text text
+
'''Skriv inte'''
-
:formel
+
formel (text text text text text text ...)
-
text text text text text text text text ...
+
formel (text text text text text text ...)
</div>
</div>
-
'''Tänk på punktuationen'''
+
<div class="exempel">
 +
'''Skriv istället'''
 +
 
 +
Text text text text...
 +
 
 +
::formel.
 +
 
 +
Text text text text...
 +
 
 +
::formel.
 +
</div>
 +
 
 +
Formler kan antingen skrivas inne i den löpande texten eller som fristående formler. När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna.
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
'''Skriv'''
 +
 
 +
... text text text formel text.
 +
 
 +
Text text text
 +
 
 +
::<span style="color:green">formel</span>
 +
 
 +
text text text text text text ...
 +
 
 +
(Notera hur indragningen framhäver både den förklarande texten och formeln.)
 +
</div>
Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.
Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
Skriv inte
+
'''Skriv inte'''
...vilket ger att '''<span style="color:red">:</span>'''
...vilket ger att '''<span style="color:red">:</span>'''
Rad 87: Rad 153:
Nästa steg är...
Nästa steg är...
 +
 +
(Observera att det också behövs en punkt efter formeln ovan.)
</div>
</div>
-
Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på punktuationen.
+
Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på punktuationen. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
 +
'''Skriv'''
 +
...och därför är
...och därför är
Rad 101: Rad 171:
</div>
</div>
-
'''Undvik överdriven numrering'''
+
Ett ofog är att i en lösning numrera varje enskilt steg (numreringen bör användas vid en ren uppräkning). De extra siffrorna tillför inget utan är mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva exempelvis 'när vi kvadrerade ekvationen' osv.
-
 
+
-
Ett ofog är att i en lösning numrera varje enskilt steg (numreringen bör användas vid en ren uppräkning). De extra siffrorna tillför inget utan är mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva typ 'när vi kvadrerade ekvationen' osv.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
Skriv inte
+
'''Skriv inte'''
'''<span style="color:red;">3.</span>''' text text text text text text text text ...
'''<span style="color:red;">3.</span>''' text text text text text text text text ...
-
:formel
+
::formel
'''<span style="color:red;">4.</span>''' text text text text text text text text ...
'''<span style="color:red;">4.</span>''' text text text text text text text text ...
Rad 120: Rad 188:
...text text text text text text text text
...text text text text text text text text
-
:{|width="100%"
+
::{|width="100%"
-
|align="left" width="100%"|formul.
+
|align="left" width="100%"|formel.
||<span style="color:green;">(1)</span>
||<span style="color:green;">(1)</span>
|}
|}
Rad 127: Rad 195:
Text text <span style="color: green;">(1)</span> text text text text text text
Text text <span style="color: green;">(1)</span> text text text text text text
-
:formel.
+
::formel.
Text text text text text text text text...
Text text text text text text text text...
</div>
</div>
-
==Goda råd==
 
-
===Renskriv lösningen===
 
-
Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar lösningen och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är det bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och inte binder upp dig för tidigt vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.
 
- 
-
När du skriver in lösningen gör det som text och inte som skärmdumpar från din ordbehandlare. Visserligen kan det vara enklare att skriva lösningen på din egen dator i favoritprogrammet, men tänk på att lösningen i nästa fas ska ingå i ett grupparbete och då är det viktigt att lösningen är i redigerbart skick.
 
- 
-
===Ett tydligt svar===
 
-
Skriv tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.
 
- 
-
<div class="exempel">
 
-
''' Exempel 1'''
 
- 
-
<ol type="a">
 
-
<li><math>\sqrt8</math> förenklas till <math>2\sqrt2</math>. </li>
 
-
<li><math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math> förenklas till <math>1 + 2\sin 2x</math>. </li>
 
-
<li><math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.</math> förenklas till <math>x = \pi / 4 + n\pi / 2</math>. </li>
 
-
</ol>
 
- 
-
</div>
 
- 
-
===Pröva och kontrollera delsteg och svar===
 
-
Ibland när man löser vissa ekvationer dyker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter.
 
- 
-
Falska rötter
 
-
<ul>
 
-
<li>kvadrering kan ge falska rötter </li>
 
-
<li>multiplikation av ekvationer med faktorer som innehåller x kan ge falska rötter </li>
 
-
<li>rötter som ligger utanför funktioners definitionsmängd är falska </li>
 
-
</ul>
 
- 
-
En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.ex. genom att en faktor i båda led förkortas bort utan att tänka på att den faktorn lika med noll ger ytterligare lösningar.
 
- 
-
En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning. En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om a = 0, a = 1 eller a går mot oändligheten?)
 
- 
-
===Rita tydliga figurer===
 
-
En figur kan förklara införda beteckningar eller resonemang många gånger mycket bättre än text, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tydliga och överlasta inte en figur med alltför många saker. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt.
 
==Vanliga fel==
==Vanliga fel==
===Var noggrann med pilar och likheter===
===Var noggrann med pilar och likheter===
-
Det är skillnad mellan <math>\Rightarrow</math> (implikation), <math>\Leftrightarrow</math> (ekvivalens) and <math>=</math> (lika med). Mellan två ekvationer som man vet a priori har samma lösningar används ekvivalenspilen <math>\Leftrightarrow</math> för att signalera detta.
+
Det är skillnad mellan <math>\Rightarrow</math> (implikation), <math>\Leftrightarrow</math> (ekvivalens) och <math>=</math> (lika med). Mellan två ekvationer som man a priori vet har samma lösningar används ekvivalenspilen <math>\Leftrightarrow</math> för att signalera detta.
-
Om vi däremot skriver ekvation 1 <math>\Rightarrow</math> ekvation 2 så betyder det att alla lösningar som ekvation 1 har har också ekvation 2 (men ekvation 2 kan dessutom ha fler lösningar).
+
Om vi däremot skriver "Ekvation 1 <math>\Rightarrow</math> Ekvation 2" så betyder det att alla lösningar som ekvation 1 har har också ekvation 2, men ekvation 2 kan dessutom ha fler lösningar.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Exempel 2'''
+
''' Exempel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Rad 186: Rad 218:
</div>
</div>
-
Ofta skriver man inte ut <math>\Leftrightarrow</math> mellan olika steg i en lösning och då är den underförstådd. Många gånger är det också vara bättre att använda förklarande text istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte heller implikationspilen som en allmän fortsättningssymbol (i betydelsen "sedan har vi").
+
Ofta skriver man inte ut <math>\Leftrightarrow</math> mellan två rader som direkt följer efter varandra eftersom ekvivalensen då är underförstådd. Många gånger är det också bättre att använda förklarande text istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte heller implikationspilen som en allmän fortsättningssymbol (i betydelsen "sedan har vi").
-
Likhetstecknet (<math>=</math>) används i två betydelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.ex. <math> (x - 2)^2 = x^2 -4x + 4 </math> som gäller för alla <math>x</math>, dels i ekvationer där båda led är lika (för vissa x), exempelvis <math>(x - 2)^2 = 4</math> som bara gäller för <math>x = 0 </math> eller <math>x = 4</math>. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma symbol.
+
Likhetstecknet (<math>=</math>) används i två betydelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.ex. <math> (x - 2)^2 = x^2 -4x + 4 </math> som gäller för alla <math>x</math>, dels i ekvationer där båda led är lika (för vissa <math>x</math>), exempelvis <math>(x - 2)^2 = 4</math> som bara gäller för <math>x = 0 </math> eller <math>x = 4</math>. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma tecken.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Exempel 3'''
+
''' Exempel 4'''
Skriv inte
Skriv inte
Rad 205: Rad 237:
</div>
</div>
-
Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttryck eller t.ex. en operation.
+
(Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttryck eller t.ex. en operation.)
-
Enkelpilen (<math>\rightarrow</math>) används i matematiken oftast vid olika typer av gränsvärden; <math>a \to \infty</math> betyder att a växer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs.
+
Enkelpilen (<math>\rightarrow</math>) används i matematiken oftast vid olika typer av gränsvärden; <math>a\to\infty</math> betyder att <math>a</math> växer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs.
===Slarva inte med parenteser===
===Slarva inte med parenteser===
Rad 213: Rad 245:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Exempel 4'''
+
''' Exempel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li>Skriv inte <math>1 + x / \cos x</math> när du egentligen menar <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
<li>Skriv inte <math>1 + x / \cos x</math> när du egentligen menar <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
-
<li>Skriv inte <math>1 + (1/\sin x)</math> när detta bättre skrivs som <math>1 + 1/\sin x</math> (även om det första skrivsättet, formellt sätt, inte är felaktigt).</li>
+
<li>Skriv inte <math>1 + (1/\sin x)</math> när detta bättre skrivs som <math>1 + 1/\sin x</math> (även om det första skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
I bokstavsuttryck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Exempelvis skriver man nästan aldrig <math>4 \cdot x \cdot y \cdot z </math> utan <math>4xyz </math>. Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttryck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver <math> 1/2R </math> så betyder det <math>1/(2R)</math> och inte <math>(1/2)R</math>. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett inte alltid är nödvändigt).
+
I bokstavsuttryck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Exempelvis skriver man nästan aldrig <math>4 \cdot x \cdot y \cdot z </math> utan <math>4xyz </math>. Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttryck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver <math> 1/2R </math> så betyder det <math>1/(2R)</math> och inte <math>(1/2)R</math>. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett bara är nödvändiga i det ena uttrycket).
Argument till de vanligaste funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva
Argument till de vanligaste funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva
Rad 239: Rad 271:
'''Länktips'''
'''Länktips'''
-
* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp En videolektion] i matematisk skrift av Donald Knuth (Kompendiet tillhörande kursen finns tillgängligt i [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz källform] eller i utdrag från [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books]).
+
* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp En videokurs] i hur man skriver matematik av Donald Knuth. (Kompendiet tillhörande kursen finns tillgängligt i [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz källform] eller i utdrag från [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books].)
</div>
</div>

Versionen från 5 mars 2009 kl. 12.22

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Regler kring formatering av matematiska text
  • Goda råd inför skrivandet av en lösning
  • Vanliga fel

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Presentera en matematisk text
  • Förklara tankegången bakom en lösning

Goda råd

Förklara din lösning

Det viktigaste rådet är nog: Förklara din lösning.

Lösningen ska inte bara vara en redovisning av vilka formler som du använt, utan också en beskrivning av hur du har tänkt. Använd ord till detta! För att få rätt nivå på lösningen: tänk dig att du förklarar lösningen för en klasskompis som har lite svårt att hänga med i alla steg. Du ska alltså inte förklara minsta lilla räkneoperation men inte heller hoppa över viktiga steg.

Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.

Skriv god svenska

Även om detta inte är en inlämningsuppgift i svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel ser det illa ut och påverka lösningens trovärdighet. Yta är viktigt!

Renskriv lösningen

Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar lösningen och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och inte binda upp dig för tidigt vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.

När du skriver in lösningen gör det som text och inte som skärmdumpar från din ordbehandlare. Visserligen kan det vara enklare att skriva lösningen på din egen dator i favoritprogrammet, men tänk på att lösningen i nästa fas ska ingå i ett grupparbete och då är det viktigt att lösningen är i redigerbart skick.

Ett tydligt svar

Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.

Exempel 1

  1. \displaystyle \sqrt8 förenklas till \displaystyle 2\sqrt2.
  2. \displaystyle \sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x förenklas till \displaystyle 1 + 2\sin 2x.
  3. \displaystyle x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right. förenklas till \displaystyle x = \pi / 4 + n\pi / 2.

Pröva och kontrollera delsteg och svar

Ibland när man löser vissa ekvationer dyker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter.

Falska rötter

  • Kvadrering kan ge falska rötter
  • Multiplikation av ekvationer med faktorer som innehåller x kan ge falska rötter
  • Rötter som ligger utanför funktioners definitionsmängd är falska

En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.ex. genom att en faktor i båda led förkortas bort utan att tänka på att den faktorn lika med noll ger ytterligare lösningar.

Exempel 2

Om du löser ekvationen \displaystyle 2x^2-5x=0 genom att först flytta \displaystyle 5x till högerledet,

\displaystyle 2x^2=5x,

och förkorta bort \displaystyle x i båda led,

\displaystyle 2x=5,

så förlorar du lösningen \displaystyle x=0.

Om du istället faktoriserar vänsterledet,

\displaystyle x(2x-5)=0,

så kan du avläsa båda lösningarna: \displaystyle x=0 och \displaystyle 2x-5=0 (dvs. \displaystyle x=\tfrac{5}{2}).

Läs mer om faktorisering i övning 2.1:3.

En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.

En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 eller \displaystyle a går mot oändligheten?)

Rita tydliga figurer

En figur kan förklara införda beteckningar eller resonemang många gånger mycket bättre än text, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tydliga och överlasta inte en figur med alltför många saker. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt.


Behandla formler som en del av texten

Det är viktigt att du skriver din lösning på ett sätt som gör det enkelt för andra att följa med i uträkningarna. Nedan presenterar vi några exempel på hur man ska och inte ska framställa texten när man använder formler i sin lösning.

Goda råd kring formler och text

  1. Skriv förklarande text på raden innan en formel
  2. Tänk på hur du skriver ut punkt och komma
  3. Skriv fristående formler något indragna (eller centrerade)

Formler bör inte ses som något som hängs på texten (eller tvärt om) utan både text och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde. Skriv därför inte förklarande text inom parenteser efter formler utan istället på raden innan.

Skriv inte

formel (text text text text text text ...)

formel (text text text text text text ...)

Skriv istället

Text text text text...

formel.

Text text text text...

formel.

Formler kan antingen skrivas inne i den löpande texten eller som fristående formler. När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna.

Skriv

... text text text formel text.

Text text text

formel

text text text text text text ...

(Notera hur indragningen framhäver både den förklarande texten och formeln.)

Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.

Skriv inte

...vilket ger att :

formel

Nästa steg är...

(Observera att det också behövs en punkt efter formeln ovan.)

Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på punktuationen. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.

Skriv

...och därför är

formel.

Nästa steg är...

(Notera punkten efter formeln. )

Ett ofog är att i en lösning numrera varje enskilt steg (numreringen bör användas vid en ren uppräkning). De extra siffrorna tillför inget utan är mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva exempelvis 'när vi kvadrerade ekvationen' osv.

Skriv inte

3. text text text text text text text text ...

formel

4. text text text text text text text text ...

Ibland vill man referera tillbaka till en viss fristående formel och då kan man numrera den med en siffra (eller stjärna) inom parenteser i höger eller vänster marginal.

...text text text text text text text text

formel. (1)

Text text (1) text text text text text text

formel.

Text text text text text text text text...


Vanliga fel

Var noggrann med pilar och likheter

Det är skillnad mellan \displaystyle \Rightarrow (implikation), \displaystyle \Leftrightarrow (ekvivalens) och \displaystyle = (lika med). Mellan två ekvationer som man a priori vet har samma lösningar används ekvivalenspilen \displaystyle \Leftrightarrow för att signalera detta.

Om vi däremot skriver "Ekvation 1 \displaystyle \Rightarrow Ekvation 2" så betyder det att alla lösningar som ekvation 1 har har också ekvation 2, men ekvation 2 kan dessutom ha fler lösningar.

Exempel 3

  1. \displaystyle x + 5 = 3\quad \Leftrightarrow\quad x = -2
  2. \displaystyle x^2-4x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2-5=0
  3. \displaystyle \sqrt x = x - 2\quad\Rightarrow\quad x = (x - 2)^2

Ofta skriver man inte ut \displaystyle \Leftrightarrow mellan två rader som direkt följer efter varandra eftersom ekvivalensen då är underförstådd. Många gånger är det också bättre att använda förklarande text istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte heller implikationspilen som en allmän fortsättningssymbol (i betydelsen "sedan har vi").

Likhetstecknet (\displaystyle =) används i två betydelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.ex. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2 -4x + 4 som gäller för alla \displaystyle x, dels i ekvationer där båda led är lika (för vissa \displaystyle x), exempelvis \displaystyle (x - 2)^2 = 4 som bara gäller för \displaystyle x = 0 eller \displaystyle x = 4. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma tecken.

Exempel 4

Skriv inte

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4

när du löser ekvationen \displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4, eftersom det då lämnar öppet för misstolkningar.

Skriv hellre

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4.

(Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttryck eller t.ex. en operation.)

Enkelpilen (\displaystyle \rightarrow) används i matematiken oftast vid olika typer av gränsvärden; \displaystyle a\to\infty betyder att \displaystyle a växer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs.

Slarva inte med parenteser

Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser.

Exempel 5

  1. Skriv inte \displaystyle 1 + x / \cos x när du egentligen menar \displaystyle (1 + x) / \cos x.
  2. Skriv inte \displaystyle 1 + (1/\sin x) när detta bättre skrivs som \displaystyle 1 + 1/\sin x (även om det första skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt).

I bokstavsuttryck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Exempelvis skriver man nästan aldrig \displaystyle 4 \cdot x \cdot y \cdot z utan \displaystyle 4xyz . Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttryck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver \displaystyle 1/2R så betyder det \displaystyle 1/(2R) och inte \displaystyle (1/2)R. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett bara är nödvändiga i det ena uttrycket).

Argument till de vanligaste funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) and \displaystyle \ln (x)

utan

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x and \displaystyle \ln x.

Det är t.o.m. så att man skriver \displaystyle \cos 2x och inte \displaystyle \cos(2x) (eftersom 2x är ett tätt ihopsatt uttryck), men däremot är parenteserna nödvändiga när man skriver \displaystyle \sin (x + y), \displaystyle \sin(x / 2) eller \displaystyle (\sin x)^2 (som du, alternativt, kan skriva som \displaystyle \sin ^2\!x).


Råd för inläsningen

Länktips

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/5.2_Matematisk_text