SamverkanLinalgLIU

Versionen från 15 augusti 2008 kl. 08.47 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) (Ny sida: hej Tommy) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 15 augusti 2008 kl. 08.54 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 1:		Rad 1:
-	hej Tommy	+	Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
		+
		+	Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
		+
		+	'''Övningar'''
		+
		+	1. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
		+
		+	<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
		+	{{#NAVCONTENT:
		+	Svar|Svar till övning 1|
		+	Tips 1|Tips 1 till övning 1|
		+	Tips 2|Tips 2 till övning 1|
		+	Tips 3|Tips 3 till övning 1|
		+	Lösning|Lösning till övning 1}}
		+
		+
		+
		+	2. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
		+	:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
		+	:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
		+	:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>{{#NAVCONTENT:
		+	Svar|Svar till övning 2|
		+	Tips 1|Tips 1 till övning 2|
		+	Tips 2|Tips 2 till övning 2|
		+	Tips 3|Tips 3 till övning 2|
		+	Lösning|Lösning till övning 2}}
		+
		+	3. Låt <math>G</math> vara en avbildning på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
		+	<center><math>
		+	G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
		+
		+	Undersök om <math>G</math> är linjär.
		+	{{#NAVCONTENT:
		+	Svar|Svar till övning 3|
		+	Tips 1|Tips 1 till övning 3|
		+	Tips 2|Tips 2 till övning 3|
		+	Tips 3|Tips 3 till övning 3|
		+	Lösning|Lösning till övning 3}}
		+
		+
		+	4. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
		+
		+	<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}</math></center>
		+
		+	Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>.
		+	{{#NAVCONTENT:
		+	Svar|Svar till övning 4|
		+	Tips 1|Tips 1 till övning 4|
		+	Tips 2|Tips 2 till övning 4|
		+	Tips 3|Tips 3 till övning 4|
		+	Lösning|Lösning till övning 4}}

---

Versionen från 15 augusti 2008 kl. 08.54

Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

2. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

• \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
• \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
• \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)

3. Låt \displaystyle G vara en avbildning på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle G är linjär.

4. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}

Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A.