16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
SamverkanLinalgLIU
| Rad 89: | Rad 89: | ||
'''Reflektionsuppgifter''' | '''Reflektionsuppgifter''' | ||
| + | |||
| + | 1. Beskriv <math>V(F)</math> med hjälp av avbildningsmatrisen. | ||
| + | |||
| + | 2. Om det<math>A=0</math> (<math>A</math> är avbildningens matris ) så innebär det att kolonnerna i <math>A</math> är linjärt beroende.Vad innebär det för dim<math>V(F)</math>? | ||
| + | |||
| + | 3. Hur kan du med hjälp av avbildningens matris avgöra dim<math>V(F)</math> respektive dim<math>N(F)</math>? | ||
| + | |||
| + | 4. Låt nollrummet vara tomt. Vad betyder det för dim<math>V(F)</math> resp dim<math>N(F)</math>? | ||
Versionen från 20 november 2008 kl. 16.04
Läs textavsnitt 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
Övningar
17.20. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \boldsymbol{e} ges av matrisen
- Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F).
- Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}.
- Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?
Hämtar...17.21. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen
och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm \displaystyle V(F)\cap N(G).
17.22. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen
Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).
17.23. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen
Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.
17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t,
\displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på resp.
\displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t och \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också värderummet \displaystyle V(F).
17.25. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom
- Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
- Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F).
17.26. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med
och
17.27. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen
Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).
17.28. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen
Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.
Reflektionsuppgifter
1. Beskriv \displaystyle V(F) med hjälp av avbildningsmatrisen.
2. Om det\displaystyle A=0 (\displaystyle A är avbildningens matris ) så innebär det att kolonnerna i \displaystyle A är linjärt beroende.Vad innebär det för dim\displaystyle V(F)?
3. Hur kan du med hjälp av avbildningens matris avgöra dim\displaystyle V(F) respektive dim\displaystyle N(F)?
4. Låt nollrummet vara tomt. Vad betyder det för dim\displaystyle V(F) resp dim\displaystyle N(F)?
