1.3 Potenser

Förberedande kurs i matematik 1

Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Positiv heltalsexponent
  • Negativ heltalsexponent
  • Rationell exponent
  • Potenslagar

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Känna till begreppen bas och exponent.
  • Beräkna uttryck med heltalsexponent.
  • Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
  • Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
  • Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.

Heltalspotenser

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.

\displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}

På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:

\displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}

Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.

Exempel 1

  1. \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  2. \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  3. \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
  4. \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, men \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
  5. \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, men \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36

Exempel 2

  1. \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
  2. \displaystyle (2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
    \displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

\displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}


Potenslagar

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att

\displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8

vilket generellt kan skrivas

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas

\displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}

Den allmänna regeln blir

\displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att

\displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}

och

\displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}


Allmänt kan detta skrivas

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}

Exempel 3

  1. \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
  2. \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
  3. \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
  4. \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8

Exempel 4

  1. \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
  2. \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9


Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:

\displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}


För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att

\displaystyle a^0 = 1\mbox{.}

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.

\displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att

\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}


Exempel 5

  1. \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
  2. \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
  3. \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
  4. \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
  5. \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
  6. \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
  7. \displaystyle 0{,}01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}

Om basen i ett potensuttryck är \displaystyle -1 så blir uttrycket alternerande \displaystyle -1 eller \displaystyle +1 beroende på exponentens värde

\displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{osv.}}

Regeln är att \displaystyle (-1)^n är lika med \displaystyle -1 om \displaystyle n är udda och lika med \displaystyle +1 om \displaystyle n är jämn.


Exempel 6

  1. \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad eftersom \displaystyle 56 är ett jämnt tal
  2. \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad eftersom 11 är ett udda tal
  3. \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} \displaystyle \phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}


Byte av bas

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis

\displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
\displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
\displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots

Men även

\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots

osv.

Exempel 7

  1. Skriv \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ som en potens med basen 2.

    \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
    \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
  2. Skriv \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ som en potens av basen 3.

    \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
  3. Skriv \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} så enkelt som möjligt.

    \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8


Rationell exponent

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis

\displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2

så måste \displaystyle 2^{1/2} vara samma sak som \displaystyle \sqrt{2} i och med att \displaystyle \sqrt2 definieras som det tal som uppfyller \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 .

Allmänt kan vi göra definitionen

\displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}

Vi måste då förutsätta att \displaystyle a\ge 0, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.

Man ser också att exempelvis

\displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5

som innebär att \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, vilket kan generaliseras till att

\displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) får vi att, för alla \displaystyle a\ge0 gäller att

\displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}

eller

\displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}

Exempel 8

  1. \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad eftersom \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
  2. \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
  3. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
  4. \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}


Jämförelse av potenser

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större än \displaystyle 1 så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan \displaystyle 0 och \displaystyle 1 så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

Exempel 9

  1. \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad eftersom basen \displaystyle 3 är större än \displaystyle 1 och den första exponenten \displaystyle 5/6 är större än den andra exponenten \displaystyle 3/4.
  2. \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad eftersom basen är större än \displaystyle 1 och exponenterna uppfyller \displaystyle -3/4 > - 5/6.
  3. \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad eftersom basen \displaystyle 0{,}3 är mellan \displaystyle 0 och \displaystyle 1 och \displaystyle 5 > 4.

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.

Exempel 10

  1. \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad eftersom basen \displaystyle 5 är större än basen \displaystyle 4 och båda potenserna har samma positiva exponenten \displaystyle 3/2.
  2. \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad eftersom baserna uppfyller \displaystyle 2<3 och potenserna har den negativa exponenten \displaystyle -5/3.

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra \displaystyle 125^2 med \displaystyle 36^3 kan man göra omskrivningarna

\displaystyle

125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6

varefter man kan konstatera att \displaystyle 36^3 > 125^2.

Exempel 11

Avgör vilket tal som är störst av

  1. \displaystyle 25^{1/3}   och  \displaystyle 5^{3/4} .

    Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen \displaystyle 5 genom att \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Därför är
    \displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}

    och då ser vi att

    \displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3}
    eftersom \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} och basen \displaystyle 5 är större än \displaystyle 1.
  2. \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5   och \displaystyle 128.

    Både \displaystyle 8 och \displaystyle 128 kan skrivas som potenser av \displaystyle 2
    \displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}

    Detta betyder att

    \displaystyle \begin{align*} 
     (\sqrt{8}\,)^5  &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
                  = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
 128 &= 2^7 = 2^{14/2}
 \end{align*}

    och därför är

    \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128
    i och med att \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} och basen \displaystyle 2 är större än \displaystyle 1.
  3. \displaystyle (8^2)^{1/5} och \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.

    Eftersom \displaystyle 8=2^3 och \displaystyle 27=3^3 så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av \displaystyle 2 respektive \displaystyle 3,
    \displaystyle \begin{align*} 
     (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
              = 2^{6/5}\mbox{,}\\
 (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
              = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
              = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
              = 3^{6/5}\mbox{.}

    \end{align*}

    Nu ser vi att

    \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5}

    eftersom \displaystyle 3>2 och exponenten \displaystyle \frac{6}{5} är positiv.

  4. \displaystyle 3^{1/3}   och  \displaystyle 2^{1/2}

    Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad och \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}.

    Då har vi att

    \displaystyle \begin{align*} 
     3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}

    \end{align*}

    och vi ser att

    \displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
    eftersom \displaystyle 9>8 och exponenten \displaystyle 1/6 är positiv.

Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om potenser på engelska Wikipedia

Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages


Länktips

Här kan du träna på potenslagarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/1.3_Potenser