2.3 Andragradsuttryck

Exempel 1

1. \displaystyle x^2 = 4 \quad har rötterna \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 och \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
2. \displaystyle 2x^2=18 \quad skrivs om till \displaystyle x^2=9 och har rötterna \displaystyle x=\sqrt9 = 3 och \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kan skrivas som \displaystyle x^2=5 och har rötterna \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 och \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur \displaystyle x väljs (kvadraten \displaystyle x^2 är alltid större än eller lika med noll).

Exempel 2

1. Lös ekvationen \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.
   
   Genom att betrakta \displaystyle x-1 som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
   • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, vilket ger att \displaystyle x=1+4=5,
   • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, vilket ger att \displaystyle x=1-4=-3.
2. Lös ekvationen \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.
   
   Flytta över termen \displaystyle 8 till högerledet och dela båda led med \displaystyle 2,

   \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

   Rotutdragning ger att:

   • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
   • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Exempel 3

1. Lös ekvationen \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.
   
   De två termerna \displaystyle x^2+2x kvadratkompletteras (använd \displaystyle a=1 i formeln)

   \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

   där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som

   \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

   vilken vi löser med rotutdragning

   • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\, och därmed \displaystyle x=-1+3=2,
   • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\, och därmed \displaystyle x=-1-3=-4.
2. Lös ekvationen \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.
   
   Dividera båda led med 2

   \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

   Vänsterledet kvadratkompletteras (använd \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

   \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1

   och detta ger oss ekvationen

   \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

   Rotutdragning ger att

   • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad dvs. \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
   • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad dvs. \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Exempel 4

1. Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-4x=0.
   
   I vänsterledet kan vi bryta ut ett \displaystyle x

   \displaystyle x(x-4)=0.

   Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
   • \displaystyle x =0,\quad eller
   • \displaystyle x-4=0\quad dvs. \displaystyle \quad x=4.

Exempel 5

Exempel 6

Exempel 7

Bestäm var parabeln \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, skär \displaystyle x-axeln.

En punkt ligger på \displaystyle x-axeln om dess \displaystyle y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har \displaystyle y=0 har en \displaystyle x-koordinat som uppfyller ekvationen

Vänsterledet kvadratkompletteras

och detta ger ekvationen

Efter rotutdragning får vi lösningarna

• \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad dvs. \displaystyle \quad x=2+1=3,
• \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad dvs. \displaystyle \quad x=2-1=1.

Parabeln skär \displaystyle x-axeln i punkterna \displaystyle (1,0) och \displaystyle (3,0).

Exempel 8

Bestäm det minsta värde som uttrycket \displaystyle \,x^2+8x+19\, antar.

Vi kvadratkompletterar

och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten \displaystyle (x+4)^2 alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad \displaystyle x är.

I figuren nedan ser vi att hela parabeln \displaystyle y=x^2+8x+19 ligger ovanför \displaystyle x-axeln och har ett minimumvärde 3 när \displaystyle x=-4.