3.1 Rötter

Förberedande kurs i matematik 1

Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Kvadratrot och n:te rot
  • Rotlagar

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Skriva om ett rotuttryck i potensform.
  • Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
  • Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad.
  • Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
  • Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
  • Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
  • Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
  • Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierad (n udda).

Kvadratrötter

Symbolen \displaystyle \sqrt{a}, kvadratroten ur \displaystyle a, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir \displaystyle a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen \displaystyle x^2 = 4 har två lösningar \displaystyle x = 2 och \displaystyle x = -2, eftersom såväl \displaystyle 2\cdot 2 = 4 som \displaystyle (-2)\cdot(-2) = 4. Man skulle då kunna tro att \displaystyle \sqrt{4} kan vara vilken som helst av \displaystyle -2 och \displaystyle 2, dvs. \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, men \displaystyle \sqrt{4} betecknar bara det positiva talet \displaystyle 2.


Kvadratroten \displaystyle \sqrt{a} betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir \displaystyle a, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen \displaystyle x^2 = a.

Kvadratroten ur \displaystyle a kan även skrivas \displaystyle a^{1/2}.

Det är därför fel att påstå att \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, men korrekt att säga att ekvationen \displaystyle x^2 = 4 har lösningarna \displaystyle x = \pm 2.

Exempel 1

  1. \displaystyle \sqrt{0}=0 \quad eftersom \displaystyle 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 och \displaystyle 0 är inte negativ.
  2. \displaystyle \sqrt{100}=10 \quad eftersom \displaystyle 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 och \displaystyle 10 är ett positivt tal.
  3. \displaystyle \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom \displaystyle 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 och \displaystyle 0{,}5 är positiv.
  4. \displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom \displaystyle 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 och \displaystyle 1{,}4142 är positiv.
  5. Ekvationen \displaystyle x^2=2 har lösningarna \displaystyle x=\sqrt{2} \approx 1{,}414 och \displaystyle x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414.
  6. \displaystyle \sqrt{-4}\quad är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal \displaystyle x som uppfyller \displaystyle x^2=-4.
  7. \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad eftersom \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom \displaystyle \sqrt{a} = a^{1/2} kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

\displaystyle \sqrt{9\cdot 4} 
 = (9\cdot 4)^{1/2}
 = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
 = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal \displaystyle a, b \ge 0:

\displaystyle \begin{align*} 
   \sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
   \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
   a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
 \end{align*}

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

  1. \displaystyle \sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9 = 72
  2. \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
  3. \displaystyle \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
  5. \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att \displaystyle a och \displaystyle b \ge 0. Om \displaystyle a och \displaystyle b är negativa (< 0) så är inte \displaystyle \sqrt{a} och \displaystyle \sqrt{b} definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

\displaystyle -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att \displaystyle \sqrt{-1} inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.


Högre ordningars rötter

Kubikroten ur ett tal \displaystyle a definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger \displaystyle a, och betecknas \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{a}.

Exempel 3

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad eftersom \displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad eftersom \displaystyle 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad eftersom \displaystyle (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för positiva heltal \displaystyle n definiera n:te roten ur ett tal \displaystyle a som

  • om \displaystyle n är jämn och \displaystyle a\ge0 är \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt \displaystyle n gånger blir \displaystyle a,
  • om \displaystyle n är udda så är \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} det tal som multiplicerat med sig självt \displaystyle n gånger blir \displaystyle a.

Roten \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} kan även skrivas som \displaystyle a^{1/n}.

Exempel 4

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad eftersom \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad eftersom \displaystyle (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad är inte definierad eftersom \displaystyle 6 är jämn och \displaystyle -17 är ett negativt tal.

För \displaystyle n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om \displaystyle a, \, b \ge 0. Observera att om \displaystyle n är udda gäller de även för negativa \displaystyle a och \displaystyle b, dvs. för alla reella tal \displaystyle a och \displaystyle b.

\displaystyle \begin{align*} 
   \sqrt[\scriptstyle n]{ab}
     &= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
          \sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
   \sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
     &= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
   a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
     &= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
 \end{align*}


Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

\displaystyle \sqrt{8} 
 = \sqrt{4\cdot2}
 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
 = 2\sqrt{2}

eftersom man då kan förenkla t.ex.

\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2} 
 = \frac{2 \sqrt{2}}{2}
 = \sqrt{2}\mbox{.}

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

\displaystyle \sqrt{8} + \sqrt{2} 
 = 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
 = (2+1)\sqrt{2}
 = 3\sqrt{2}\mbox{.}

Exempel 5

  1. \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
  2. \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
  3. \displaystyle \sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
  4. \displaystyle \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
  5. \displaystyle \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{ \sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
  6. \displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1
    där vi använt konjugatregeln \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 med \displaystyle a=\sqrt{3} och \displaystyle b=\sqrt{2}.


Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \displaystyle \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} 
 = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
 = \frac{\sqrt{2}}{2}

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

\displaystyle \begin{align*} 
   \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
     &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
      = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
     &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
      = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
      = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
      = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
 \end{align*}

Exempel 6

  1. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
  2. \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
  3. \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,) (\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2 -(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}


Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}.


Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?


Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/3.1_R%C3%B6tter