2.2 Linjära uttryck

Förberedande kurs i matematik 1

Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Förstagradsekvationer
  • Räta linjens ekvation
  • Geometriska problem
  • Områden som definieras av olikheter

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
  • Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0.
  • Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
  • Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
  • Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.

Förstagradsekvationer

För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får \displaystyle x ensamt i ena ledet.

Exempel 1

  1. Lös ekvationen \displaystyle x+3=7.

    Subtrahera \displaystyle 3 från båda led
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Vänsterledet förenklas då till \displaystyle x och vi får att
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Lös ekvationen \displaystyle 3x=6.

    Dividera båda led med \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Efter att ha förkortat bort \displaystyle 3 i vänsterledet har vi att
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Lös ekvationen \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Först subtraherar vi båda led med \displaystyle 1 för att få \displaystyle 2x ensamt i vänsterledet
    \displaystyle 2x=5-1.
    Sedan dividerar vi båda led med \displaystyle 2 och får svaret
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen \displaystyle ax=b. Lösningen är då helt enkelt \displaystyle x=b/a (man måste anta att \displaystyle a\not=0). De eventuella svårigheter som kan uppstå när man löser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Eftersom \displaystyle x förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi \displaystyle 2x från båda led

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

och får \displaystyle x samlat i högerledet

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Nu subtraherar vi 7 från båda led

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

och får \displaystyle 3x ensamt kvar i högerledet

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Det sista steget är att dividera båda led med \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

och detta ger att

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Exempel 3

Lös ut \displaystyle x från ekvationen \displaystyle ax+7=3x-b.


Genom att subtrahera båda led med \displaystyle 3x

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

och sedan med \displaystyle 7

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

har vi samlat alla termer som innehåller \displaystyle x i vänsterledet och övriga termer i högerledet. Eftersom termerna i vänsterledet har \displaystyle x som en gemensam faktor kan \displaystyle x brytas ut

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Dividera båda led med \displaystyle a-3

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

Exempel 4

Lös ekvationen \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.


Utveckla kvadratuttrycken i båda leden

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Subtrahera \displaystyle 4x^2 från båda led

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

Addera \displaystyle 6x till båda led

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

Subtrahera \displaystyle 49 från båda led

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

Dividera båda led med \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Exempel 5

Lös ekvationen \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Flytta över båda termerna i ena ledet

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

Förläng termerna så att de får samma nämnare

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

och förenkla täljaren

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),

\displaystyle 5x+4=0

vilket ger att \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.


Räta linjer

Funktioner av typen

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

\displaystyle y = kx+m

där \displaystyle k och \displaystyle m är konstanter.

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten \displaystyle k anger linjens lutning mot \displaystyle x-axeln och \displaystyle m anger \displaystyle y-koordinaten för den punkt där linjen skär \displaystyle y-axeln.

[Image]

Linjen y = kx + m har lutning k och skär y-axeln i (0,m)

Konstanten \displaystyle k kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv \displaystyle x-led på linjen ger \displaystyle k enheters förändring i positiv \displaystyle y-led. Det gäller därmed att om

  • \displaystyle k>0\, så lutar linjen uppåt,
  • \displaystyle k<0\, så lutar linjen nedåt.

För en horisontell linje (parallell med \displaystyle x-axeln) är \displaystyle k=0 medan en vertikal linje (parallell med \displaystyle y-axeln) inte har något \displaystyle k-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen \displaystyle y=kx+m).

Exempel 6

  1. Skissera linjen \displaystyle y=2x-1.

    Jämför vi linjens ekvation med \displaystyle y=kx+m så ser vi att \displaystyle k=2 och \displaystyle m=-1. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är \displaystyle 2 och att den skär \displaystyle y-axeln i punkten \displaystyle (0,-1). Se figuren till vänster nedan.
  2. Skissera linjen \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Linjens ekvation kan skrivas som \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 och då ser vi att dess riktningskoefficient är \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} och att \displaystyle m=2. Se figuren nedan till höger.

[Image]

[Image]

Linjen y = 2x - 1 Linjen y = 2 - x/2

Exempel 7

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna \displaystyle (2,1) och \displaystyle (5,3)?


Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att \displaystyle 5-2=3 steg i \displaystyle x-led motsvaras av \displaystyle 3-1=2 steg i \displaystyle y-led på linjen. Det betyder att \displaystyle 1 steg i \displaystyle x-led måste motsvaras av \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} steg i \displaystyle y-led. Alltså är linjens riktningskoefficient \displaystyle k= \frac{2}{3}.

[Image]

Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex. i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter \displaystyle k_1 respektive \displaystyle k_2 som uppfyller \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, vilket också kan skrivas som \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient \displaystyle k, dvs. \displaystyle 1 steg i \displaystyle x-led motsvaras av \displaystyle k steg i \displaystyle y-led. Om linjen vrids \displaystyle 90^\circ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient \displaystyle -\frac{1}{k} eftersom nu motsvaras \displaystyle -k steg i \displaystyle x-led av \displaystyle 1 steg i \displaystyle y-led.

Exempel 8

  1. Linjerna \displaystyle y=3x-1 och \displaystyle y=3x+5 är parallella.
  2. Linjerna \displaystyle y=x+1 och \displaystyle y=2-x är vinkelräta.

Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen

\displaystyle ax+by=c

där \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c är konstanter.

Exempel 9

  1. Skriv linjen \displaystyle y=5x+7 i formen \displaystyle ax+by=c.

    Flytta över \displaystyle x-termen till vänsterledet: \displaystyle -5x+y=7.
  2. Skriv linjen \displaystyle 2x+3y=-1 i formen \displaystyle y=kx+m.

    Flytta över \displaystyle x-termen i högerledet \displaystyle 3y=-2x-1 och dela båda led med \displaystyle 3
    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Här kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.

Här kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.


Områden i koordinatsystem

Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.

Exempel 10

  1. Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle y\ge2.

    Området ges av alla punkter \displaystyle (x,y) vars \displaystyle y-koordinat är \displaystyle 2 eller större, dvs. alla punkter på eller ovanför linjen \displaystyle y=2.

    [Image]

  2. Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle y < x.

    En punkt \displaystyle (x,y) som uppfyller olikheten \displaystyle y < x har en \displaystyle x-koordinat som är större än dess \displaystyle y-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen \displaystyle y=x.

    [Image]

    Att linjen \displaystyle y=x är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det färgade området.

Exempel 11

Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4.


Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad och \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Flyttar vi över \displaystyle x-termerna till högerledet och delar båda led med \displaystyle 2 får vi

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad och \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen \displaystyle y = 2-\tfrac{3}{2}x.

[Image]

Figuren till vänster visar området \displaystyle 3x+2y\ge 2 och figuren till höger området \displaystyle 3x+2y\le 4.


Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de färgade områdena ovan har gemensamt.

[Image]

Figuren visar området \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Exempel 12

Om vi ritar upp linjerna \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x och \displaystyle y=2 så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.

[Image]

Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.

Vi ser att dess \displaystyle y-koordinat måste vara mindre än \displaystyle 2. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränsas av \displaystyle y=0. \displaystyle y-koordinaten måste således ligga i intervallet \displaystyle 0\le y\le2.

För \displaystyle x-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att \displaystyle x-koordinaten måste ligga ovanför linjerna \displaystyle y=-x och \displaystyle y=x. Vi ser att detta är uppfyllt då \displaystyle -y\le x\le y. Eftersom vi redan har begränsningar för \displaystyle y-koordinaten så ser vi att \displaystyle x inte kan vara större än \displaystyle 2 eller mindre än \displaystyle -2 automatiskt.

Vi ser att basen i triangeln blir \displaystyle 4 längdenheter och höjden \displaystyle 2 längdenheter.

Arean av denna triangel blir alltså \displaystyle 4\cdot 2/2=4 areaenheter.


Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att...

Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.


Länktips

Experimentera med Räta linjens ekvation

Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/2.2_Linj%C3%A4ra_uttryck