3.3 Logaritmer
Förberedande kurs i matematik 1
| Teori | Övningar |
Innehåll:
- Logaritmer
- Logaritmlagar
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Känna till begreppen bas och exponent.
- Känna till beteckningarna \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log och \displaystyle \log_{a}.
- Beräkna enkla logaritmuttryck med hjälp av logaritmens definition.
- Logaritmen är bara definierad för positiva tal.
- Känna till talet \displaystyle e.
- Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttryck.
- Veta när logaritmlagarna är giltiga.
- Uttrycka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas.
- Lösa ekvationer som innehåller exponentialuttryck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer.
- Avgöra vilket av två logaritmuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/argument.
Logaritmer med basen 10
Man använder gärna potenser med basen \displaystyle 10 för att skriva stora och små tal, t.ex.
\displaystyle \begin{align*}
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}
\end{align*}
|
Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att
- "exponenten för 1000 är 3", eller
- "exponenten för 0,01 är -2".
Precis så är logaritmer definierade. Man uttrycker sig på följande sätt:
- "logaritmen för 1000 är 3", vilket skrivs \displaystyle \lg 1000 = 3,
- "logaritmen för 0,01 är -2", vilket skrivs \displaystyle \lg 0{,}01 = -2.
Mer allmänt kan man uttrycka sig:
- Logaritmen av ett tal \displaystyle y betecknas med \displaystyle \lg y och är den exponent som ska stå i den blåa rutan i likheten
| \displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} |
Notera här att \displaystyle y måste vara ett positivt tal för att logaritmen \displaystyle \lg y ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 10 som blir negativ eller noll.
Exempel 1
- \displaystyle \lg 100000 = 5\quad eftersom \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000.
- \displaystyle \lg 0{,}0001 = -4\quad eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0{,}0001.
- \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}.
- \displaystyle \lg 1 = 0\quad eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
- \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}.
- \displaystyle \lg 50 \approx 1{,}699\quad eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1{,}699\,}} \approx 50.
- \displaystyle \lg (-10) existerar inte eftersom \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} aldrig kan bli -10 oavsett hur \displaystyle a väljs.
I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att \displaystyle \lg 50 måste ligga någonstans mellan 1 och 2 eftersom \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet \displaystyle \lg 50 = 1{,}69897\ldots behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.)
Exempel 2
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
- \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50
Olika baser
Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!). Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.ex. 2 som bas skriver man \displaystyle \log_{\,2} för "2-logaritmen".
Exempel 3
- \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad eftersom \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
- \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad eftersom \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
- \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad eftersom \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
- \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad eftersom \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.
På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser.
Exempel 4
- \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad eftersom \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
- \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad eftersom \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
- \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad eftersom \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
- \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad eftersom \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (om \displaystyle b>0 och \displaystyle b\not=1).
Om basen 10 används, skriver man sällan \displaystyle \log_{\,10}, utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare.
Naturliga logaritmer
I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även talet \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2{,}71828 \ldots\,). Logaritmer med basen e kallas naturliga logaritmer och skrivs ln i stället för \displaystyle \log_{\,e}.
Exempel 5
- \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad eftersom \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
- \displaystyle \ln e = 1\quad eftersom \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
- \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad eftersom \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
- \displaystyle \ln 1 = 0\quad eftersom \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
- Om \displaystyle y= e^{\,a} så är \displaystyle a = \ln y.
- \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
- \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x
På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer.
Logaritmlagar
Mellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000. Anledningen till att man la ned så enormt mycket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mycket snabbare att utföra än multiplikation).
Exempel 6
Beräkna \displaystyle \,35\cdot 54.
Om vi vet att \displaystyle 35 \approx 10^{\,1{,}5441} och \displaystyle 54 \approx 10^{\,1{,}7324} (dvs. \displaystyle \lg 35 \approx 1{,}5441 och \displaystyle \lg 54 \approx 1{,}7324) då kan vi räkna ut att
\displaystyle
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324}
= 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324}
= 10^{\,3{,}2765}
|
och vet vi sedan att \displaystyle 10^{\,3{,}2765} \approx 1890 (dvs. \displaystyle \lg 1890 \approx 3{,}2765) så har vi lyckats beräkna produkten
| \displaystyle 35 \cdot 54 = 1890 |
och detta bara genom att addera ihop exponenterna \displaystyle 1{,}5441 och \displaystyle 1{,}7324.
Detta är ett exempel på en logaritmlag som säger att
| \displaystyle \log (ab) = \log a + \log b |
och som följer av att å ena sidan är
\displaystyle
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
= \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\}
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}
|
och å andra sidan är
\displaystyle
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}
|
Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande logaritmlagar:
\displaystyle \begin{align*}
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
\end{align*}
|
Logaritmlagarna gäller oavsett bas.
Exempel 7
- \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
- \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
- \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
- \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2
Exempel 8
- \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
- \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}
= \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
\displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(} - \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81
= \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
\displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(} - \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}
= 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
\displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0
Byte av bas
Ibland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.
Exempel 9
- Uttryck \displaystyle \lg 5 i naturliga logaritmen.
Per definition är \displaystyle \lg 5 det tal som uppfyller likheten\displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.} Logaritmera båda led med ln (naturliga logaritmen)
\displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.} Med hjälp av logaritmlagen \displaystyle \ln a^b = b \ln a kan vänsterledet skrivas som \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 och likheten blir
\displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.} Dela nu båda led med \displaystyle \ln 10 så får vi svaret
\displaystyle \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0{,}699\,, \quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.} - Uttryck 2-logaritmen för 100 i 10-logaritmen lg.
Om vi skriver upp sambandet som definierar \displaystyle \log_2 100\displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100 och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att
\displaystyle \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}Eftersom \displaystyle \lg a^b = b \lg a så är \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 och högerledet kan förenklas till \displaystyle \lg 100 = 2. Detta ger oss likheten
\displaystyle \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}Division med \displaystyle \lg 2 ger slutligen att
\displaystyle \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6{,}64\,, \quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}
Den allmänna formeln för byte från en bas \displaystyle a till en bas \displaystyle b kan härledas på samma sätt
\displaystyle
\log_{\scriptstyle\,a} x
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
\,\mbox{.}
|
Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva \displaystyle 2^5 med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,
| \displaystyle 2 = 10^{\lg 2} |
och utnyttjar sedan en av potenslagarna
\displaystyle
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
\quad ({}\approx 10^{1,505}\,)\,\mbox{.}
|
Exempel 10
- Skriv \displaystyle 10^x med basen e.
Först skriver vi 10 som en potens av e,\displaystyle 10 = e^{\ln 10} och använder sedan potenslagarna
\displaystyle 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.} - Skriv \displaystyle e^{\,a} med basen 10.
Talet \displaystyle e kan vi skriva som \displaystyle e=10^{\lg e} och därför är\displaystyle e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att:
Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.
Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
Lästips
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia
Läs mer om Talet e i The MacTutor History of Mathematics archive
Länktips
