4.4 Trigonometriska ekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir \displaystyle \tfrac{1}{2}. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas \displaystyle x.

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med y-koordinat \displaystyle \tfrac{1}{2} i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet \displaystyle \tfrac{1}{2}. Den första är standardvinkeln \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln \displaystyle 30^\circ mot den negativa x-axeln, vilket gör att den vinkeln är \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ eller i radianer \displaystyle \pi – \pi / 6 = 5\pi / 6. Detta är de enda lösningar till ekvationen \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} mellan \displaystyle 0 och \displaystyle 2\pi.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde \displaystyle \tfrac{1}{2} är alltså

   x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
   x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
 \end{cases}

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till \displaystyle y = \sin x skär linjen \displaystyle y=\tfrac{1}{2}.

Exempel 2

Lös ekvationen \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.

Vi vet att cosinus blir \displaystyle \tfrac{1}{2} för vinkeln \displaystyle \pi/3. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln \displaystyle -\pi/3. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

En lösning till ekvationen är standardvinkeln \displaystyle x=\pi/3.

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln \displaystyle x med den positiva x-axeln.

Därför ser vi att lösningarna till \displaystyle \tan x = \sqrt{3} upprepar sig varje halvt varv \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen \displaystyle \pi/3 och lägga till eller dra ifrån multiplar av \displaystyle \pi,

där \displaystyle n är ett godtyckligt heltal.

Exempel 4

Lös ekvationen \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.

Omskrivning med hjälp av formeln \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 ger

vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)

Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om \displaystyle \cos x = 1. Grundekvationen \displaystyle \cos x=1 kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

 x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}

Exempel 5

Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.

Enligt den trigonometriska ettan är \displaystyle \sin^2\!x + \cos^2\!x = 1, dvs. \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x. Ekvationen kan alltså skrivas

Genom att nu bryta ut en faktor \displaystyle \sin x får vi

 \sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla \displaystyle \sin x = 0 eller \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2}, vilka är två vanliga grundekvationer på formen \displaystyle \sin x = a och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut

 \begin{cases}
   x &= n\pi\\
   x &= -\pi/6+2n\pi\\
   x &= 7\pi/6+2n\pi
 \end{cases}
 \qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}

Exempel 6

Lös ekvationen \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.

Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen

Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor \displaystyle \cos x, vilket ger

Eftersom produkten i vänsterledet bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

• \displaystyle \cos x = 0,
• \displaystyle \sin x = 2.

Men \displaystyle \sin x kan aldrig bli större än 1, så ekvationen \displaystyle \sin x = 2 saknar lösningar. Då återstår bara \displaystyle \cos x = 0, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Exempel 7

Lös ekvationen \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Med den trigonometriska ettan kan \displaystyle \sin^2\!x bytas ut mot \displaystyle 1 – \cos^2\!x. Då får vi

 \begin{align*}
   4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
   \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Detta är en andragradsekvation i \displaystyle \cos x, som har lösningarna

 \cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{och}\quad
 \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Eftersom värdet av \displaystyle \cos x ligger mellan \displaystyle –1 och \displaystyle 1 kan ekvationen \displaystyle \cos x=-\tfrac{3}{2} inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen

som löses enligt exempel 2.