4.2 Trigonometriska funktioner

Förberedande kurs i matematik 1

Nuvarande version

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten \displaystyle a och den närliggande kateten \displaystyle b för tangens av vinkeln \displaystyle u och betecknas \displaystyle \tan u.

Värdet på kvoten \displaystyle \frac{a}{b} är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln \displaystyle u. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).

 x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
   = 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är \displaystyle \cos u = b/c ("cosinus av \displaystyle u") och \displaystyle \sin u = a/c ("sinus av \displaystyle u").

Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln \displaystyle u.

Några standardvinklar

För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

 x^2 = 1^2 + 1^2
 \quad \Leftrightarrow \quad
 x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).

Tangensfunktionen definieras som

och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.

 \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
                = \frac{3\pi+ \pi}{6}
                = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

 \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

De trigonometriska funktionernas grafer

I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.

I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är:

• Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på \displaystyle 2\pi, dvs. det gäller att \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x och \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. I enhetscirkeln motsvarar \displaystyle 2\pi ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.

• Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på \displaystyle \pi, dvs. \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Två vinklar som skiljer sig åt med \displaystyle \pi ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.

• Förutom en fasförskjutning på \displaystyle \pi/2 är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2); mer om detta i nästa avsnitt.

Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.

Övningar