Warning: jsMath requires JavaScript to process the mathematics on this page.
If your browser supports JavaScript, be sure it is enabled.

4.2 Trigonometriska funktioner

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Teori

Övningar

Innehåll:

De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel.
Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln.
Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 och \displaystyle \pi/2.
Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln.
Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens.
Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar.

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten \displaystyle a och den närliggande kateten \displaystyle b för tangens av vinkeln \displaystyle u och betecknas \displaystyle \tan u.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Värdet på kvoten \displaystyle \frac{a}{b} är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln \displaystyle u. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).

Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

[Image]

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med \displaystyle x nedan).

[Image]

Från definitionen av tangens har vi att

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}

och eftersom \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0{,}84 så är

\displaystyle

 x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
   = 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med \displaystyle x i figuren.

[Image]

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för \displaystyle u så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för \displaystyle \tan u.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Sätter vi de två uttrycken för \displaystyle \tan u lika fås

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}

vilket ger att \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är \displaystyle \cos u = b/c ("cosinus av \displaystyle u") och \displaystyle \sin u = a/c ("sinus av \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln \displaystyle u.

Exempel 3

[Image]

I triangeln till vänster är

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Definitionen av sinus ger att

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

och vet vi att \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0{,}616 så får vi att

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}

[Image]

Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Alltså är

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Exempel 4

Bestäm \displaystyle \sin u i triangeln

[Image]

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}

och därför är \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Några standardvinklar

För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.

[Image]

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd \displaystyle x,

\displaystyle

 x^2 = 1^2 + 1^2
 \quad \Leftrightarrow \quad
 x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

[Image]

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Från en triangelhalva får vi att

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).

De trigonometriska funktionerna \displaystyle \cos u och \displaystyle \sin u är x- respektive y-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln \displaystyle u med den positiva x-axeln.

[Image]

Tangensfunktionen definieras som

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.

Exempel 7

Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.

			\displaystyle \begin{align} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align}
			\displaystyle \begin{align} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align}

Exempel 8

Vilket tecken har

\displaystyle \cos 209^\circ Eftersom vinkeln \displaystyle 209^\circ kan skrivas som \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ x-koordinat, vilket betyder att \displaystyle \cos 209^\circ är negativ.
\displaystyle \sin 133^\circ Vinkeln \displaystyle 133^\circ är lika med \displaystyle 90^\circ + 43^\circ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv y-koordinat och därför är \displaystyle \sin 133^\circ positiv.
\displaystyle \tan (-40^\circ) Ritas vinkeln \displaystyle -40^\circ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. \displaystyle \tan (-40^\circ) är negativ.

Exempel 9

Bestäm \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Omskrivningen

\displaystyle

 \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
                = \frac{3\pi+ \pi}{6}
                = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

visar att vinkeln \displaystyle 2\pi/3 hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln \displaystyle \pi/6 med den positiva y-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att \displaystyle 2\pi/3-punkten på enhetscirkeln har en y-koordinat som är lika med den närliggande kateten \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2. Alltså är

\displaystyle

 \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

[Image]

De trigonometriska funktionernas grafer

I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.

[Image]

Grafen till sinusfunktionen

[Image]

Grafen till cosinusfunktionen

[Image]

Grafen till tangensfunktionen

I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är:

Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på \displaystyle 2\pi, dvs. det gäller att \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x och \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. I enhetscirkeln motsvarar \displaystyle 2\pi ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.

Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på \displaystyle \pi, dvs. \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Två vinklar som skiljer sig åt med \displaystyle \pi ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.

Förutom en fasförskjutning på \displaystyle \pi/2 är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2); mer om detta i nästa avsnitt.

Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.

Exempel 10

Hur många lösningar har ekvationen \displaystyle \cos x = x^2? (där \displaystyle x mäts i radianer)

Genom att rita upp graferna \displaystyle y=\cos x och \displaystyle y=x^2 ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två x-värden för vilka motsvarande y-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.

[Image]

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.

Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.

Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"

Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia

Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia

Länktips

Experimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln

Experimentera med Euklidisk geometri

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/4.2_Trigonometriska_funktioner

3. Rötter och logaritmer

Sök

4.2 Trigonometriska funktioner

Förberedande kurs i matematik 1

Nuvarande version

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Några standardvinklar

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

De trigonometriska funktionernas grafer