Processing Math: Done
Lösning 1.1:7b
Förberedande kurs i matematik 1
(Skillnad mellan versioner)
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:1_1_7b-1(2).gif </center> <center> Bild:1_1_7b-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) |
|||
Rad 1: | Rad 1: | ||
{{NAVCONTENT_START}} | {{NAVCONTENT_START}} | ||
- | <center> [[ | + | Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt. |
- | < | + | {{NAVCONTENT_STEP}} |
+ | I vårt fall så upprepas sekvensen 1416 i all oändlighet | ||
+ | <center><math>3{,}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center> | ||
+ | Med andra ord är talet rationellt. | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | |||
+ | Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnyttjar vi att multiplikation med 10 flyttar decimalkommat ett steg åt höger. | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | Om vi skriver | ||
+ | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\color{red}{‚}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math> | ||
+ | så är därför | ||
+ | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\color{red}{‚}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\color{red}{‚}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\color{red}{‚}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\color{red}{‚}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | Notera att i 10000''x'' har vi flyttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 10000''x'' har kommit i fas med decimalutvecklingen av ''x'', dvs. de har samma decimalutveckling. | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | Därför är | ||
+ | ::<math>10000x-x = 31416\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | ::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(decimalerna tar ut varandra) | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | och eftersom <math>10000x-x = 9999x</math> så har vi alltså sambandet | ||
+ | ::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math> | ||
+ | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
+ | Löser vi ut ''x'' ur detta samband får vi ''x'' som en kvot mellan två heltal | ||
+ | ::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math> | ||
{{NAVCONTENT_STOP}} | {{NAVCONTENT_STOP}} | ||
+ | <!--<center> [[Bild:1_1_7b-1(2).gif]] </center> | ||
+ | <center> [[Bild:1_1_7b-2(2).gif]] </center>--> |
Nuvarande version
Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt.
I vårt fall så upprepas sekvensen 1416 i all oändlighet

Med andra ord är talet rationellt.
Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnyttjar vi att multiplikation med 10 flyttar decimalkommat ett steg åt höger.
Om vi skriver
x=3‚1416 1416 1416...
så är därför
10x=31‚4161 4161 4161...
100x=314‚1614 1614 161...
1000x=3141‚6141 6141 61...
10000x=31416‚1416 1416 1...
Notera att i 10000x har vi flyttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 10000x har kommit i fas med decimalutvecklingen av x, dvs. de har samma decimalutveckling.
Därför är
10000x−x=31416 1416 1416...−3
1416 1416...
=31413 (decimalerna tar ut varandra)
och eftersom
9999x=31413.
Löser vi ut x ur detta samband får vi x som en kvot mellan två heltal
x=999931413 =333310471
.