4.3 Trigonometriska samband

Förberedande kurs i matematik 1

Nuvarande version

Inledning

Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

Trigonometriska ettan

Symmetrier

Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

 \begin{align*}
   \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
   \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
 \end{align*}
 \qquad\quad
 \begin{align*}
   \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
   \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
   \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
   \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
 \end{align*}

Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

Spegling i x-axeln

   \cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Spegling i y-axeln

   \cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Spegling i linjen y = x

   \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
   \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Vridning med vinkeln \displaystyle \mathbf{\pi/2}

   \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
 \end{align*}

Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där \displaystyle \cos v uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva \displaystyle \cos v = \sin (v + \pi / 2). För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på \displaystyle v.

Kontroll: \displaystyle \ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1.

Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. \displaystyle \sin(u+v). Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet

   \sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs \displaystyle \sin 2v eller \displaystyle \cos 2v, så kan man skriva uttrycken som \displaystyle \sin(v + v) eller \displaystyle \cos(v + v) och använda additionsformlerna ovan och få

   \sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
   \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att byta ut \displaystyle 2v mot \displaystyle v, och följdaktligen \displaystyle v mot \displaystyle v/2, i formeln för \displaystyle \cos 2v får vi att

 \cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Vill vi ha en formel för \displaystyle \sin(v/2) så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med \displaystyle \cos^2(v/2)

 \cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
        = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

dvs.

 \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med \displaystyle \sin^2(v/2). Då får vi istället

 \cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}

Övningar