Lösning 1.1:7c

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:1_1_7c-1(2).gif </center> <center> Bild:1_1_7c-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}})
Nuvarande version (29 april 2008 kl. 08.16) (redigera) (ogör)
 
Rad 1: Rad 1:
{{NAVCONTENT_START}}
{{NAVCONTENT_START}}
-
<center> [[Bild:1_1_7c-1(2).gif]] </center>
+
Tittar vi närmare på talet så ser vi att sifferkombinationen 001 upprepas från och med den andra decimalen
-
<center> [[Bild:1_1_7c-2(2).gif]] </center>
+
<center><math>0{,}2\ \underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots</math></center>
 +
och det avslöjar att talet är rationellt.
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
Genom att sedan multiplicera talet med 10 ett antal gånger kan vi skifta decimalkommat stegvis åt höger
 +
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,,\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{}=2\,,\,\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{}=20\,,\,01\ 001\ 001\ 1\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{}=200\,,\,1\ 001\ 001\ 1\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,,\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
I denna lista ser vi att talen 10''x'' och 10000''x'' har samma decimalutveckling, och det betyder att
 +
::<math>10000x-10x = 2001{,}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2{,}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots</math>
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
::<math>\phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad</math>(decimalerna tar ut varandra)
 +
{{NAVCONTENT_STEP}}
 +
Eftersom <math>10000x-10x = 9990x</math> så är
 +
::<math>9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}</math>
{{NAVCONTENT_STOP}}
{{NAVCONTENT_STOP}}
 +
<!--<center> [[Bild:1_1_7c-1(2).gif]] </center>
 +
<center> [[Bild:1_1_7c-2(2).gif]] </center>-->

Nuvarande version

Tittar vi närmare på talet så ser vi att sifferkombinationen 001 upprepas från och med den andra decimalen

\displaystyle 0{,}2\ \underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots

och det avslöjar att talet är rationellt.

Genom att sedan multiplicera talet med 10 ett antal gånger kan vi skifta decimalkommat stegvis åt höger

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,,\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{}=2\,,\,\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{}=20\,,\,01\ 001\ 001\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{}=200\,,\,1\ 001\ 001\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,,\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots

I denna lista ser vi att talen 10x och 10000x har samma decimalutveckling, och det betyder att

\displaystyle 10000x-10x = 2001{,}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2{,}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots
\displaystyle \phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad(decimalerna tar ut varandra)

Eftersom \displaystyle 10000x-10x = 9990x så är

\displaystyle 9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/L%C3%B6sning_1.1:7c