Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir stellen −1−i exponential dar:

−1−i=r(cos+isin)=rei

wobei r = Betrag und = Argument sind.

r=−1−i=(−1)2+(−1)2=2

Dann klammern wir r=2  aus:

−1−i=2(−22−22i)

Gesucht werden alle Winkel , für die gilt:

cos=2−2  und sin=2−2

Diese Winkel sind

=4++2n=45+2n

mit nZ.

Also

z5=−1−i=2ei(45+2n)

Wir ziehen die 5. Wurzel, um z aus z5 zu erhalten:

z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n)

Die Gleichung z5=−1−i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. n=0 : z=2110ei41 (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch 110 mal e hoch i41)

2. n=1 : z=2110ei2013

3. n=2 : z=2110ei2021

4. n=3 : z=2110ei2029

5. n=4 : z=2110ei2037

Die nächste Lösung für n=5 ist wegen der 2- Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit n=0.