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Lösung 1.2:2f
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Die Funktion ist mehrmals verkettet
| \displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } |
Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck
| \displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\, |
mit der Kettenregel ableiten.
| \displaystyle \frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{} |
Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."
| \displaystyle \bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,, |
wo wir
| \displaystyle \frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.} |
verwendet haben.
Die Ableitung der ganzen Funktion ist also
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x} &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\,(1-x)\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (-1)\\[5pt] &= \frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}\,\textrm{.} \end{align} |
