Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden \displaystyle y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x\,.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b, wo die obere Grenze \displaystyle y=x+2 ist und eine zwischen \displaystyle x=b und \displaystyle x=c wo \displaystyle y=1/x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\, \end{align}

Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

• \displaystyle x=a: Die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:

\displaystyle \left\{\begin{align} y &= 1\,,\\[5pt] y &= x+2\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x+2=1, also \displaystyle x=-1\,. Daher ist \displaystyle a=-1\,.

• \displaystyle x=b: Die Schnittstelle von \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x erfüllt beide Gleichungen:

\displaystyle \left\{\begin{align} y &= x+2\,,\\[5pt] y &= 1/x\,\textrm{.} \end{align}\right.

Eliminieren wir \displaystyle y erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung

\displaystyle x+2=\frac{1}{x}\,,

die wir mit \displaystyle x multiplizieren,

\displaystyle x^{2}+2x=1\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung ergibt:

\displaystyle \begin{align} (x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt] (x+1)^2 &= 2\,. \end{align}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle x=-1\pm \sqrt{2} und dies ergibt

\displaystyle b=-1+\sqrt{2}. (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)

• \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, also ist \displaystyle x=1\,, daher \displaystyle c=1\,.

Die Teilflächen sind also

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,\textrm{.}\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Die gesamte Fläche ist

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}