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Lösung 2.2:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

(x2+2x+2)=2x+2=2(x+1).

Also ist das Integral

21x2+2x+2(x2+2x+2)dx. 

Durch die Substitution u=x2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral.

x+1x2+2x+2dx=udu=x2+2x+2=(x2+2x+2)dx=2(x+1)dx=21udu=21lnu+C=21lnx2+2x+2+C

Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

x2+2x+2=(x+1)2−12+2=(x+1)2+1

sehen wir, dass x2+2x+2 immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

21ln(x2+2x+2)+C
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