Lösung 2.2:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Es wäre möglich, die Substitution \displaystyle u=x-1 zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner
| \displaystyle \begin{align}
\int \frac{dx}{(x-1)^2+3} &= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} \end{align} |
und schreiben den Faktor \displaystyle \tfrac{1}{3} in das Quadrat \displaystyle (x-1)^2.
| \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1} |
Jetzt machen wir die Substitution \displaystyle u = (x-1)/\!\sqrt{3} und erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x-1)/\!\sqrt{3}\\[5pt] du &= dx/\!\sqrt{3} \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{3}\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\,\textrm{.} \end{align} |
